Question

Задача олимпиадного уровня. На дошці написано натуральні числа від 1 до 10.Дозволяється витирати будь які два числа х і у, а замість них записати на дошку числа х-1 і у+3.Чи можна за декілька таких операцій отримати на дошці числа 2;3;4;...;9;10;2018?

Answer 1

Заметим, что после арифметических операций сумма чисел увеличивается на 2(x-1+y+3=x+y+2 ). Тогда вначале арифметических операций сумма была 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 - нечетное, т.е. после каждых арифметических операций сумма чисел будет нечетным, но исходная сумма чисел 2+3+4+...+10+2018 = 2078 - четно.

Получили противоречие.

Ответ: Нет.

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати цю задачу. Ми починаємо з чисел від 1 до 10, і на кожному кроці ми можемо витирати два числа і записувати на їхнє місце числа х-1 і у+3. Наша мета - отримати числа 2, 3, 4, ..., 9, 10 і 2018.

Спостереження: якщо ви витрите два числа х і у і заміните їх на х-1 і у+3, то різниця між цими парами чисел буде та сама і дорівнюватиме (х+2) - (у+2) = (х-у). Це означає, що незалежно від того, які два числа ми замінимо, різниця між числами на дошці не зміниться.

Зауважимо, що різниця між числами 2 і 2018 дорівнює 2018 - 2 = 2016.

Тепер перевіримо, чи можемо отримати таку саму різницю на дошці. Візьмемо початкові числа 1 і 2. Їхня різниця дорівнює 2 - 1 = 1. Тепер додамо 3 до першого числа і віднімемо 3 з другого числа, отримаємо пару чисел (4, -1), різниця між ними дорівнює 4 - (-1) = 5. Потім додамо 6 до першого числа і віднімемо 3 з другого числа, отримаємо пару чисел (10, 2), різниця між ними дорівнює 10 - 2 = 8.

За допомогою таких операцій ми можемо отримати числа з різницями 1, 5, 8, 11, 14, 17 і т.д. Відображення різниць, які ми можемо отримати на дошці, виглядає так:

1, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...

Ми не можемо отримати різницю 2016, оскільки вона не належить цій послідовності. Тому неможливо за допомогою цих операцій отримати послідовність чисел 2, 3, 4, ..., 9, 10 і 2018 на дошці.