Question

найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 15 даёт остаток 7, при делении на 16 имеет остаток 8, а при делении на 17–остаток 9.

Answer 1

Ответ:4104

Пошаговое объяснение:нужно делать НОД

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать китайскую теорему об остатках. Эта теорема утверждает, что если у нас есть система сравнений следующего вида:

1. x ≡ a (mod m1)
2. x ≡ b (mod m2)
3. x ≡ c (mod m3)

где a, b, c - остатки, а m1, m2, m3 - соответствующие модули, и эти модули попарно взаимно простые, то существует единственное решение x (по модулю произведения m1 * m2 * m3).

В нашем случае:

1. x ≡ 7 (mod 15)
2. x ≡ 8 (mod 16)
3. x ≡ 9 (mod 17)

Для начала, убедимся, что модули 15, 16 и 17 являются попарно взаимно простыми числами. Это верно, потому что эти числа не имеют общих делителей, кроме 1.

Теперь, чтобы найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем трём условиям, найдем решение x по модулю произведения m1 * m2 * m3.

m1 = 15, m2 = 16, m3 = 17 M = m1 * m2 * m3 = 15 * 16 * 17 = 4080

Теперь найдем обратные элементы для каждого модуля:

Обратный элемент m1_inv для m1 = 15 по модулю M = 4080: 15_inv ≡ 2721 (mod 4080)

Обратный элемент m2_inv для m2 = 16 по модулю M = 4080: 16_inv ≡ 2553 (mod 4080)

Обратный элемент m3_inv для m3 = 17 по модулю M = 4080: 17_inv ≡ 240 (mod 4080)

Теперь решим уравнения для x:

x = (a1 * m1 * m1_inv + a2 * m2 * m2_inv + a3 * m3 * m3_inv) % M

где ai - остатки, полученные при делении числа x на соответствующие модули.

x = (7 * 15 * 2721 + 8 * 16 * 2553 + 9 * 17 * 240) % 4080 x = (285255 + 326208 + 69360) % 4080 x = 680823 % 4080 x = 1623

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, равно 1623.