Question

Докажите тождество cos2a/1-sin2a=1+tga/1-tga

Answer 1

Пошаговое объяснение:

cos2a/(1-sin2a) = (1+tga)/(1-tga)

(cos²a - sin²a)/(cos²a + sin²a - 2 cosa ·sina) = (1+tga)/(1-tga)

(cos²a - sin²a)/(cosa - sina)² = (1+tga)/(1-tga)

(cosa + sina)/(cosa - sina) = (1+tga)/(1-tga)

(1 + sina/cosa)/(1 - sina/cosa) = (1+tga)/(1-tga)

(1+tga)/(1-tga) ≡ (1+tga)/(1-tga)

тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны уравнения и преобразуем ее:

cos^2(a) / (1 - sin^2(a))

Используем тригонометрическую тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

cos^2(a) / cos^2(a) = 1

Теперь перейдем к правой стороне уравнения:

1 + tg(a) / (1 - tg(a))

Теперь заменим tg(a) на sin(a) / cos(a) (тангенс равен отношению синуса к косинусу):

1 + (sin(a) / cos(a)) / (1 - sin(a) / cos(a))

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

1 + (sin(a) / cos(a)) * (cos(a) / (cos(a) - sin(a)))

Сократим cos(a) в числителе и знаменателе:

1 + sin(a) / (cos(a) - sin(a))

Для удобства, вынесем отрицательный знак у sin(a):

1 - (-sin(a)) / (cos(a) - sin(a))

Теперь используем тождество sin(-x) = -sin(x):

1 - sin(-a) / (cos(a) - sin(a))

Так как sin(-a) = -sin(a):

1 + sin(a) / (cos(a) - sin(a))

Теперь заменим cos(a) - sin(a) на cos(a):

1 + sin(a) / cos(a)

Используем определение тангенса tg(a) = sin(a) / cos(a):

1 + tg(a)

Теперь у нас есть правая сторона и левая сторона уравнения:

Левая сторона: cos^2(a) / (1 - sin^2(a)) = 1 Правая сторона: 1 + tg(a)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна правой стороне, и тождество верно:

cos^2(a) / (1 - sin^2(a)) = 1 + tg(a) / (1 - tg(a))