Question

Помогите, надо найти сумму корней в градусах, если ctg^2(x)=1+1/sinx.

Answer 1

..........................

Answer 2

Для начала решим уравнение ctg^2(x) = 1 + 1/sin(x):

ctg^2(x) = 1 + 1/sin(x)

Перепишем ctg(x) как 1/tan(x):

(1/tan(x))^2 = 1 + 1/sin(x)

Теперь заменим tan(x) на sin(x)/cos(x):

(1/(sin(x)/cos(x)))^2 = 1 + 1/sin(x)

Упростим:

(cos(x)/sin(x))^2 = 1 + 1/sin(x)

(cos^2(x)/sin^2(x)) = 1 + 1/sin(x)

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

cos^2(x)/sin^2(x) - 1 - 1/sin(x) = 0

Получили квадратное уравнение относительно cos^2(x):

cos^2(x)/sin^2(x) - sin^2(x)/sin^2(x) - 1/sin(x) = 0

cos^2(x)/sin^2(x) - sin^2(x)/sin^2(x) - sin(x)/sin(x) = 0

(cos^2(x) - sin^2(x))/sin^2(x) - sin(x)/sin(x) = 0

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x):

(cos(2x))/sin^2(x) - sin(x)/sin(x) = 0

(cos(2x))/sin^2(x) - 1 = 0

Теперь перепишем cos(2x) как 1 - 2sin^2(x):

(1 - 2sin^2(x))/sin^2(x) - 1 = 0

Теперь умножим обе части уравнения на sin^2(x):

1 - 2sin^2(x) - sin^2(x) = 0

Теперь объединим квадраты:

1 - 3sin^2(x) = 0

Теперь выразим sin^2(x):

sin^2(x) = 1/3

Теперь найдем значение sin(x):

sin(x) = ±√(1/3)

Так как синус - это отношение противоположной стороны к гипотенузе, и значения синуса могут быть положительными или отрицательными, то x может принимать следующие значения:

1. sin(x) = √(1/3), тогда x = arcsin(√(1/3)) в градусах.
2. sin(x) = -√(1/3), тогда x = arcsin(-√(1/3)) в градусах.

Теперь, чтобы найти сумму корней, сложим эти два значения:

сумма корней = arcsin(√(1/3)) + arcsin(-√(1/3))

Вычислим численное значение:

сумма корней ≈ 35.26° + (-35.26°)

Сумма корней ≈ 0°

Таким образом, сумма корней уравнения равна 0 градусов.