Question

У=2+12х+9х2-10х3 знайдіть точки екстремуму

Answer 1

Ответ:

-2/5, 1

Пошаговое объяснение:

• Знайдемо похідну функції:

y'=12+18x-30x²

• Прирівняємо її до нуля і знайдемо корені:

12+18x-30x²=0

5х²-3х-2=0

D=(-3)²-4*5*(-2)=9+40=49=7²

х₁=(3+7)/10=1

х₂=(3-7)/10=-2/5

Answer 2

Для знаходження точок екстремуму функції У = 2 + 12х + 9х^2 - 10х^3, спочатку знайдемо похідну від функції У за х і прирівняємо його до нуля. Точки, де похідна дорівнює нулю, вказують на можливі місця екстремуму.

1. Знаходимо похідну функції У за х: У' = d/dx (2 + 12х + 9х^2 - 10х^3)

Для знаходження похідної застосуємо правила диференціювання: У' = 0 + 12 + 18х - 30х^2

2. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо значення х: 0 + 12 + 18х - 30х^2 = 0

3. Знаходимо корені рівняння: 30х^2 - 18х - 12 = 0

Тепер, для знаходження точок екстремуму, вирішимо це квадратне рівняння.

4. Розв'яжемо квадратне рівняння: Для квадратних рівнянь форми ax^2 + bx + c = 0, розв'язок задається формулою: х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку: a = 30, b = -18, c = -12

х = (18 ± √((-18)^2 - 4 * 30 * (-12))) / 2 * 30

х = (18 ± √(324 + 1440)) / 60

х = (18 ± √1764) / 60

х = (18 ± 42) / 60

Тепер знайдемо два значення х:

а) х = (18 + 42) / 60 = 60 / 60 = 1

б) х = (18 - 42) / 60 = -24 / 60 = -0.4

Таким чином, знайдені значення х, де можливі точки екстремуму, це х = 1 і х = -0.4.

Тепер варто перевірити, чи вони є точками максимуму чи мінімуму. Для цього використовуємо другу похідну.

5. Знаходимо другу похідну функції У за х: У'' = d^2/dx^2 (2 + 12х + 9х^2 - 10х^3)

У'' = 0 + 0 + 18 - 60х

6. Підставляємо значення х в другу похідну:

а) У''(х = 1) = 18 - 60 * 1 = -42

б) У''(х = -0.4) = 18 - 60 * (-0.4) = 42

Тепер, оскільки значення другої похідної менше нуля при х = 1 (У''(х = 1) = -42), ця точка (1, У(1)) є точкою максимуму.

Аналогічно, оскільки значення другої похідної більше нуля при х = -0.4 (У''(х = -0.4) = 42), ця точка (-0.4, У(-0.4)) є точкою мінімуму.

Отже, точки екстремуму функції У = 2 + 12х + 9х^2 - 10х^3:

• Точка максимуму: (1, У(1))
• Точка мінімуму: (-0.4, У(-0.4))