Question

На елке 31 декабря в 23 00 висит гирлянда из 40 лампочек, каждая горит одним из четырех цветов : красная,желтая,синяя или зеленая. Разрешается один раз в минуту переключить цвет любой лампочки по следующим правилам : красная переключается на желтый, желтая на синий, синяя на зеленый, зеленая на красный.Всегда ли модно успеть до начала Нового Года переключить все лампочки гирлянды в один цвет? Пожалуйста помогите; прошу​

Answer 1

Посчитаем 4 числа a, b, c ,d. Это 4 числа действий, чтобы получить 4 конкретных цвета на всей гирлянде. a+b+c+d=240 (Если просуммировать 4 ур-ия системы вида 0*а1+1*а2+2*а3+3*а4=a и т.п. получим ур-ие 6*а1+6*а2+6*а3+6*а4=a+b+c+d=240, где a1, a2, a3, a4 - начальное число цветов). По принципу Дирихле хотя бы одно из них a<=60.

ответ: да, можно

Answer 2

Да, всегда можно успеть до начала Нового Года переключить все лампочки гирлянды в один цвет.

Обратите внимание, что у нас четыре цвета лампочек и они переключаются циклически: красный -> желтый -> синий -> зеленый -> красный -> и так далее. Таким образом, независимо от исходного расположения цветов, вы всегда можете привести все лампочки к одному цвету, выполнив переключения несколько раз.

Предположим, что на елке изначально висят 40 лампочек четырех разных цветов: красные, желтые, синие и зеленые. Возможны следующие варианты:

1. Все 40 лампочек имеют одинаковый цвет - ничего не нужно делать.
2. Есть хотя бы одна лампочка каждого из четырех цветов - совершите последовательные переключения по кругу (красный -> желтый -> синий -> зеленый), и все лампочки станут одного цвета.
3. Все лампочки одного цвета, но не всех четырех - в этом случае совершите переключения по кругу, чтобы привести лампочки к одному цвету.

Таким образом, независимо от расположения цветов в начале, можно добиться того, чтобы все лампочки гирлянды стали одного цвета. Основное условие - уложиться в оставшееся время до начала Нового Года, и у вас 60 минут (до полуночи), что более чем достаточно, так как даже в худшем случае переключение всех лампочек займет всего 40 минут (переключение каждой лампочки по одному разу).