Question

В сельскую школу ходят 20 детей. У любых двух из них есть общая бабушка. Докажите, что у одной из бабушек в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

Answer 1

Ответ : у детей есть 10 бабушек

Answer 2

Допустим, у нас есть сельская школа, в которой ходят 20 детей, и у любых двух из них есть общая бабушка. Давайте рассмотрим случай, когда у каждого ребенка есть уникальная бабушка, и у всех бабушек по одному внуку или внучке (то есть все внуки и внучки различны).

Предположим, что это возможно, и у каждой бабушки в школе есть не более 13 внуков и внучек (меньше, чем 14). Теперь мы можем подсчитать, сколько уникальных бабушек может быть в школе.

Поскольку у каждой бабушки не более 13 внуков и внучек, и каждый ребенок имеет уникальную бабушку, максимальное количество различных бабушек, которые могут быть в школе, равно 13. Однако у нас всего 20 детей, и это означает, что некоторые из детей должны иметь общую бабушку.

Мы знаем, что у любых двух детей есть общая бабушка, поэтому каждая из бабушек, которую мы рассматриваем, обязательно имеет не менее двух внуков и внучек. Если мы снова рассмотрим школу с 20 детьми, но на этот раз у каждой бабушки есть не менее двух внуков и внучек, то минимальное количество уникальных бабушек будет составлять 10 (20 детей / 2 внука или внучки у каждой бабушки).

Таким образом, мы доказали, что в данной сельской школе должно быть не менее 10 уникальных бабушек, если у каждой из них не менее 2 внуков и внучек. Если бы у одной из бабушек было бы меньше 14 внуков и внучек, это бы означало, что одна из бабушек имеет бы не менее 10 внуков и внучек. Но так как у каждой из 10 бабушек уже по 2 внука или внучки, то минимальное общее количество внуков и внучек будет равно 20, что соответствует числу детей в школе.

Следовательно, если у каждой из бабушек есть не менее двух внуков и внучек, у одной из них обязательно есть не менее 14 внуков и внучек.