Question

Помогите решить пожалуйста Траектория полета снаряда описывается уравнениями x(t)=36tcosa и y(t)= -9t^2+36tsina, где а угол наклона орудия к горизонту. Каким должен быть угол а, чтобы поразить цель с координатами х_0 = 36 и у_0 = 27 ?

Answer 1

Из этого уравнения x(t) = 36tcosa, подставив значение х = 36, получаем

36 = 36tcosa, отсюда t = 1/cosa.

Подставим это значение в уравнение y(t)= -9t^2+36tsina, заменив y(t)= 27.

27 =  -9(1/cosa)²+36sina*(1/cosa) + 9 = 0

Приведём к общему знаменателю и числитель приравняем 0 (при условии, что cosa не равен нулю).

27(cosa)² - 36sina*cosa + 9 = 0.  Сократим на 9.

3(cosa)² - 4sina*cosa + 1 = 0.  Разложим 1 на (cosa)² + (sina)².

3(cosa)² - 4sina*cosa + (cosa)² + (sina)² = 0

4(cosa)² - 4sina*cosa  + (sina)² = 0.

Разделим обе части уравнения на (cosa)².

4 - 4tga + tg²a = 0. Заменим tga = t и получаем квадратное уравнение

t² - 4t + 4 = 0.    

Д = 16 - 4*4 = 0. Уравнение имеет 2 одинаковых корня 4/2 = 2.

Обратная замена tga = 2.

Отсюда получаем ответ:

угол равен arc tg 2 = 1,107149 радиан или 63,43495 градуса.

Answer 2

Для определения угла α, при котором снаряд попадет в цель с координатами x₀ = 36 и y₀ = 27, нужно решить систему уравнений, где x(t) и y(t) равны соответствующим координатам цели.

Система уравнений:

1. x(t) = 36tcosα
2. y(t) = -9t^2 + 36tsinα

Подставим x₀ и y₀ в уравнения:

1. 36tcosα = 36 ----> tcosα = 1 ----> t = 1/cosα
2. -9t^2 + 36tsinα = 27

Теперь подставим значение t из первого уравнения во второе:

-9(1/cosα)^2 + 36(1/cosα)sinα = 27

Упростим:

-9/cos^2α + 36sinα/cosα = 27

Теперь переведем всё в термины одной функции, например, в cosα:

-9 + 36sinαcosα = 27cos^2α

27cos^2α - 36sinαcosα - 9 = 0

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно cosα. Решим его:

cosα = (36sinα ± √(36sinα)^2 + 4279) / (2*27)

cosα = (36sinα ± √(1296sin^2α + 972)) / 54

Так как угол α находится в первом квадранте, cosα > 0, и мы выбираем знак "+":

cosα = (36sinα + √(1296sin^2α + 972)) / 54

Теперь, зная cosα, мы можем найти угол α:

α = arccos((36sinα + √(1296sin^2α + 972)) / 54)

Вычислить это аналитически достаточно сложно, поэтому давайте воспользуемся численным методом, например, методом деления пополам (бисекции) или методом Ньютона для численного решения уравнения на компьютере.