Question

Функцию f(x) разложить в ряд Фурье в заданном интервале: f(x)=6x-2 (-П;0)

Answer 1

Попробуйте такое решение.

Пошаговое объяснение:

1. Указание периода и полупериода;

2. Основная формула и нахождение коэффициентов Фурье;

3. Подстановка коэффициентов Фурье в основную формулу.

Answer 2

Для разложения функции f(x) = 6x - 2 в ряд Фурье на заданном интервале (-П; 0), нам нужно найти коэффициенты разложения.

Сначала найдем коэффициенты a₀, aₙ и bₙ используя формулы для коэффициентов Фурье:

a₀ = (1/П) * ∫[0, -П] f(x) dx aₙ = (1/П) * ∫[0, -П] f(x) * cos(nπx/П) dx bₙ = (1/П) * ∫[0, -П] f(x) * sin(nπx/П) dx

Вычислим каждый коэффициент по очереди:

a₀ = (1/П) * ∫[0, -П] (6x - 2) dx = (1/П) * [3x² - 2x]∣[0, -П] = (1/П) * [3(-П)² - 2(-П) - (3(0)² - 2(0))] = (1/П) * [3П² + 2П] = (3П + 2) / П

aₙ = (1/П) * ∫[0, -П] (6x - 2) * cos(nπx/П) dx = (1/П) * [6∫[0, -П] x * cos(nπx/П) dx - 2∫[0, -П] cos(nπx/П) dx] = (1/П) * [6 * (П * sin(nπ) - nπ * ∫[0, -П] sin(nπx/П) dx) - 2 * (0 - П * sin(nπ) / (nπ))] = (6/П) * (П * sin(nπ) - nπ * 0) - (2/П) * (П * sin(nπ) / (nπ)) = 6 * sin(nπ) / П = 0 (так как sin(nπ) = 0 для всех целых n)

bₙ = (1/П) * ∫[0, -П] (6x - 2) * sin(nπx/П) dx = (1/П) * [6∫[0, -П] x * sin(nπx/П) dx - 2∫[0, -П] sin(nπx/П) dx] = (1/П) * [6 * (-П * cos(nπ) + nπ * ∫[0, -П] cos(nπx/П) dx) - 2 * (0 - П * cos(nπ) / (nπ))] = (6/П) * (-П * cos(nπ) + nπ * 0) + (2/П) * (П * cos(nπ) / (nπ)) = -6 * cos(nπ) / П = (-6)^n / П (для четных n) или 0 (для нечетных n)

Таким образом, разложение функции f(x) = 6x - 2 в ряд Фурье на интервале (-П; 0) будет:

f(x) = (3П + 2) / П + Σ[ n = 1 до бесконечности ] ((-6)^n / П) * cos(nπx/П)

где Σ обозначает сумму.