Question

7. Нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. Определить, при каком значении m плоскость a будет перпендикулярна плоскости B:2x-my+4z+3=0

Answer 1

а) Если нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы, то эта плоскость отсекает на осях равные отрезки.

Длину этих отрезков примем за к.

Уравнение плоскости а в "отрезках": (x/k) + (y/k) + (z/k) = 1.

Освободимся от знаменателей и получим общее уравнение плоскости "а": x + y + z - k = 0. В этом уравнении  коэффициенты А = В = С = 1.

Теперь воспользуемся формулой расстояния точки от плоскости.

d = |AMx + BMy + CMz + D|/√(A² + B² + C²) и приравняем заданной величине 4.

Заданная точка - это начало координат, значения - нули.

4 = |1*0 + 1*0 + 1*0 + k|/√(1² + 1² + 1²) = k/√3.

Отсюда получаем значение свободного члена в уравнении плоскости: к = 4√3.

Получаем ответ: уравнение плоскости "а": x + y + z - 4√3 = 0.  

б) Для перпендикулярности плоскостей  необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов равнялось нулю.

Нормальные векторы плоскостей:

- а: (1; 1; 1),

- b: (2; -m; 4).

a x b = 2 - m + 4 = 0,

m = 6.

Answer 2

Плоскость a, составляющая равные острые углы с координатными осями, имеет нормаль, компоненты которой имеют одинаковую абсолютную величину.

Пусть нормаль плоскости a имеет координаты (p, q, r).

Так как плоскость a составляет острые углы с осями координат, то для каждой координатной оси справедливо: cosθ = |p| / sqrt(p² + q² + r²) = |q| / sqrt(p² + q² + r²) = |r| / sqrt(p² + q² + r²),

где θ - угол между нормалью плоскости и соответствующей осью координат.

Из условия, что плоскость a проходит через начало координат, имеем: p * 0 + q * 0 + r * 0 = 0, то есть p = q = r = 0 не может быть.

Таким образом, пусть p = q = r = k (k ≠ 0).

Теперь найдем значение k, используя условие, что расстояние от начала координат до плоскости a равно 4 единицам.

Формула расстояния от точки (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²).

В нашем случае A = k, B = k, C = k, D = 0, и расстояние d = 4. Тогда получаем: 4 = |k * 0 + k * 0 + k * 0 + 0| / sqrt(k² + k² + k²) = 0 / sqrt(3k²) = 0.

Так как расстояние не может быть равно нулю, получаем противоречие.

Значит, такая плоскость a не существует.

Теперь найдем значение m, при котором плоскость a будет перпендикулярна плоскости B: 2x - my + 4z + 3 = 0.

Для того чтобы плоскость a была перпендикулярна плоскости B, нормали этих плоскостей должны быть ортогональными.

Нормаль плоскости B имеет координаты (2, -m, 4), а нормаль плоскости a имеет координаты (k, k, k).

Таким образом, чтобы нормали были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

2k - mk + 4k = 0.

Упрощая это уравнение, получаем:

(2 + 4 - m)k = 0.

Так как k ≠ 0 (выше было доказано), то (2 + 4 - m) = 0.

Отсюда находим m:

6 - m = 0,

m = 6.

Итак, плоскость a будет перпендикулярна плоскости B при m = 6.