Question

Даны три числа. Если бы первое из них увеличили на 10%, а второе на 20%, то сумма всех трех чисел увеличилась бы на 1; если бы второе число увеличили на 10%, а третье уменьшили на 10%, то сумма уменьшилась бы на 0.5; наконец, если бы третье число увеличил на 40%, а первое - на 20%, то сумма увеличилась бы на 4. Какой могла быть сумма трёх исходных чисел. Олимпиада по математике 11 класс. Прошу подробно написать

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Обозначим наши числа как х,y,z

их сумма : ( х+y+z)

Первоначально все числа составляют 100% или 1

х увеличили на 10 % , значит оно стало составлять

100+10=110% или 1,1x

y увеличили на 20 % и оно составило

100+20=120% или 1,2y

получим уравнение

1,1х + 1,2y +z= x+y+z+1

По такому же принципу составим второе и третье уравнения

x+ 1,1 y +0,9 z= x+y+z-0,5

1,2x+ y+ 1,4z = x+y+z+4

Получаем систему из трех уравнений :

1,1х + 1,2y +z= x+y+z+1

x+ 1,1 y +0,9 z= x+y+z-0,5

1,2x+ y+ 1,4z = x+y+z+4

Сложим все три уравнения :

3,3x +3,3y+ 3,3z= 3x+3y+3z+ 4,5

3,3x-3x+3,3y-3y+3,3z-3z=4,5

0,3x+0,3y+0.3z= 4,5

0,3(x+y+z)= 4,5

x+y+z= 4,5 : 0,3

x+y+z= 15

Сумма трех исходных чисел была 15

Answer 2

Предположим, что первое число равно x, второе число равно y, а третье число равно z. Нам дано, что:

Если первое число увеличили на 10%, а второе на 20%, то сумма всех трех чисел увеличилась бы на 1:

1. (x + 0.1x) + (y + 0.2y) + z = x + y + z + 1

Если второе число увеличили на 10%, а третье уменьшили на 10%, то сумма уменьшилась бы на 0.5: 2) x + (y + 0.1y) + (z - 0.1z) = x + y + z - 0.5

Если третье число увеличили на 40%, а первое - на 20%, то сумма увеличилась бы на 4: 3) (x + 0.2x) + y + (z + 0.4z) = x + y + z + 4

Теперь решим эту систему уравнений. Разложим каждое уравнение:

1. 1.1x + 1.2y + z = x + y + z + 1 0.1x + 0.2y = 1

2. x + 1.1y + 0.9z = x + y + z - 0.5 0.1y - 0.1z = -0.5

3. 1.2x + y + 1.4z = x + y + z + 4 0.2x + 0.4z = 4

Мы получили систему линейных уравнений с тремя уравнениями и тремя неизвестными (x, y, z). Решим эту систему.

Из уравнения (1) получаем: 0.1x + 0.2y = 1 0.1x = 1 - 0.2y x = 10 - 2y

Подставим x в уравнения (2) и (3): 0.1y - 0.1z = -0.5 (4) 0.2(10 - 2y) + 0.4z = 4 (5)

Разложим (5): 2 - 0.4y + 0.4z = 4 -0.4y + 0.4z = 2

Теперь у нас есть два уравнения (4) и (6) с двумя неизвестными (y, z). Решим эту систему:

(4) умножим на 10: y - z = -5 (7) -4y + 4z = 20 (8)

Сложим (7) и (8): -3y + 5z = 15 (9)

Теперь мы получили уравнение (9) с двумя неизвестными (y, z). Решим его:

-3y + 5z = 15 3y - 5z = -15

Просуммируем оба уравнения: 0 = 0

Заметим, что это вырожденное уравнение, которое означает, что у нас есть бесконечное количество решений для (y, z). Это означает, что сумма трех исходных чисел может быть любой.

Таким образом, сумма трех исходных чисел может быть любым числом, и мы не можем определить единственное значение для нее на основе предоставленных условий.