Question

Знайти інтервали зростання і спадання функції у=√х^2-2х

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ДАНО: Y = √(x²-2*x)

РЕШЕНИЕ

Под корнем должно быть не отрицательное число.

Решаем квадратное уравнение.

Корни: х = 0 и Y=0  и х = 2. Положительная функция при х  >2

D(y) = [0];[2;+∞) - область определения функции.

Интервала уменьшения нет.

Возрастает при х = [2;+∞) - ответ

Answer 2

Щоб знайти інтервали зростання та спадання функції у = √(х^2 - 2х), спочатку треба знайти похідну цієї функції, а потім проаналізувати знаки похідної на певних інтервалах.

1. Знайдемо похідну функції у по відношенню до х: у' = (1/2) * (х^2 - 2х)^(-1/2) * (2х - 2)

2. Спростимо вираз: у' = (х - 1) / √(х^2 - 2х)

Тепер проаналізуємо знаки похідної у' на різних інтервалах:

a) Інтервал (-∞, 0): Підставимо х = -1/2 (значення, що менше 0) у вираз у': у' = (-1/2 - 1) / √((-1/2)^2 - 2(-1/2)) у' = (-3/2) / √(1/4 + 1) у' = (-3/2) / √(5/4) у' = (-3/2) / (√5/2) у' = -3√5 / 2√5 у' = -3/2

Значення похідної від'ємне на інтервалі (-∞, 0), тобто функція у спадає на цьому інтервалі.

b) Інтервал (0, 1): Підставимо х = 1/2 (значення, що знаходиться між 0 і 1) у вираз у': у' = (1/2 - 1) / √((1/2)^2 - 2(1/2)) у' = (-1/2) / √(1/4 - 1) у' = (-1/2) / √(-3/4) у' = (-1/2) / (√3/2) у' = -√3 / 2√3 у' = -1/2

Значення похідної від'ємне на інтервалі (0, 1), тобто функція у спадає на цьому інтервалі.

c) Інтервал (1, +∞): Підставимо х = 3/2 (значення, що більше 1) у вираз у': у' = (3/2 - 1) / √((3/2)^2 - 2(3/2)) у' = (1/2) / √(9/4 - 3) у' = (1/2) / √(9/4 - 12/4) у' = (1/2) / √(-3/4) у' = (1/2) / (√3/2) у' = √3 / 2√3 у' = 1/2

Значення похідної додатне на інтервалі (1, +∞), тобто функція у зростає на цьому інтервалі.

Таким чином, інтервали зростання та спадання функції у = √(х^2 - 2х) такі:

• Функція спадає на інтервалах (-∞, 0) і (0, 1).
• Функція зростає на інтервалі (1, +∞).