Question

Задача по Мат.Анализу Имеется некоторое количество (55 мг.) радиоактивного вещества с константой распада k=3, подчиняющегося закону распада радиоактивного вещества. Найти время, в течение которого количество вещества уменьшится вдвое (период полураспада). Указание. Решить уравнение dy/dx=−ky.

Answer 1

Надеюсь понятно, если есть вопросы - спрашивайте

Answer 2

Дано уравнение:

dy/dx = -ky

где y представляет собой количество радиоактивного вещества в данный момент, x - время, а k - константа распада.

Мы хотим найти время, в течение которого количество вещества уменьшится вдвое, то есть y(t) = y(0)/2.

Решение этого уравнения может быть найдено путем разделения переменных и интегрирования обеих сторон:

dy/y = -k dx

∫(1/y) dy = -k ∫dx

ln|y| = -kx + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь, если мы возьмем экспоненту от обеих сторон, получим:

|y| = e^(-kx + C)

Так как радиоактивное вещество не может иметь отрицательное количество, мы можем убрать модуль:

y = e^(-kx + C)

Также, мы можем заметить, что e^C представляет собой новую постоянную, которую мы обозначим как A:

y = Ae^(-kx)

Теперь у нас есть общее решение уравнения.

Нам известно, что в начальный момент времени (x = 0) количество вещества равно 55 мг, то есть y(0) = 55. Подставим это в уравнение:

55 = Ae^(-k * 0)

55 = A * e^0

55 = A

Таким образом, A = 55.

Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения:

y = 55 * e^(-3x)

Чтобы найти период полураспада, нам нужно найти значение x, при котором y уменьшается вдвое.

1/2 * y(0) = 55 * e^(-3x)

27.5 = 55 * e^(-3x)

e^(-3x) = 27.5/55

e^(-3x) = 0.5

-3x = ln(0.5)

x = ln(0.5) / -3

x ≈ 0.231

Таким образом, время, в течение которого количество вещества уменьшится вдвое, составляет примерно 0.231 единицы времени.