Question

Дворец Гудвина представляет собой квадрат со стороной 20 клеток. В каждой клетке на стороне находится башенка. Гудвин хочет украсить некоторые башенки изумрудами так, чтобы город светился как можно ярче со всех сторон (на одну башенку можно прикреплять сколько угодно изумрудов; изумруды, висящие на угловой башне, светят в две стороны). Назовем светимостью города количество изумрудов на наименее светящейся стене. Если все имеющиеся у Гудвина изумруды прикрепить на одну угловую башню, то с двух сторон город будет светиться очень ярко, а с двух будет совсем неосвещен (и его светимость будет равна нулю). Помогите Гудвину определить, какой наибольшей светимости города он может добиться, если у него есть 103 изумруда.

Answer 1

Ответ:

51 ед.

Пошаговое объяснение:

Максимальная светимость будет при наиболее равномерном размещении изумрудов, т.к. этот показатель приравнен к стене с минимальным освещением.

Т.к. суммарная отдача изумруда в угловой башне вдвое выше, чем в неугловой, украшать нужно углы.

Предлагаемый вариант:

а) разместить по 51 изумруду в башнях, в диагонально противоположных углах - тогда будут освещаться по 2 стены с каждой башни.

б) разместить по 25 изумрудов во всех 4х углах (итого 100), по одному дополнительно в две противоположные угловые башни. И один себе на корону:) ибо он не повлияет на максимум светимости

Answer 2

Чтобы максимизировать светимость города, Гудвину следует распределить изумруды равномерно между башенками. Поскольку изумруды, висящие на угловых башнях, светят в две стороны, каждая угловая башня должна содержать максимальное количество изумрудов.

У дворца Гудвина есть 4 угловых башни. Мы можем прикрепить к каждой из них изумруды поочередно, начиная с самой яркой стены. Таким образом, первая угловая башня будет иметь 26 изумрудов (светимость 26), вторая - 25 изумрудов (светимость 25), третья - 24 изумруда (светимость 24), и четвертая - 23 изумруда (светимость 23).

Оставшиеся 103 - (26 + 25 + 24 + 23) = 5 изумрудов мы можем распределить между оставшимися 16 башнями (20 - 4 угловых башни). Равномерно распределив эти 5 изумрудов, каждая из оставшихся 16 башен получит 5 / 16 = 0.3125 изумруда (примерно 0.31 изумруда).

Таким образом, максимальная светимость города, которую Гудвин может достичь, составляет 26 + 25 + 24 + 23 + 0.31 = 98.31 (округлено до двух десятичных знаков).