Question

Математики даю 30 баллов + ещё 15 1) Из точки А (6;9) направлен луч света под углом 45 градусов к положительному направлению оси OX , дойдя до оси , он отражается от неё. Найти уравнение падающего и отражённого лучей.2) Под каким углом пересекаются прямые 3x +y - 2 =0 и x - 3y + 1 = 0 3) Найдите две точки A и B , зная , что точка C ( -5 ; 4 ) делит отрезок AB в отношении 3/4 , а точка D ( 6; -5 ) в отношении 2/34) Дан треугольник ABC :A( 4 ; 1 ) , B( 7 ; 5 ) , C ( -4 ; 7 ). Вычислить длину биссектрисы AD угла A

Answer 1

Рассмотрите решение для трёх первых заданий; второе фото содержит пояснения для задания №3. По возможности перепроверьте расчёты.

Answer 2

Для решения данных задач, воспользуемся соответствующими математическими формулами и методами:

1. Найдем уравнение падающего и отраженного лучей: Когда луч света падает на ось OX под углом 45 градусов, он образует с осью угол в 45 градусов. Это связано с тем, что угол падения равен углу отражения относительно нормали к поверхности (в данном случае, это ось OX).

Уравнение падающего луча (AB): Точка А (6;9), угол падения 45 градусов, а тангенс 45 градусов равен 1. Получим вектор направления падающего луча: (1, 1). Таким образом, уравнение падающего луча можно записать в параметрической форме: x = 6 + t y = 9 + t

Уравнение отраженного луча (BC): Когда луч отражается от оси OX, угол отражения равен углу падения. Значит, угол между отраженным лучом и осью OX также будет 45 градусов.

Так как отраженный луч лежит на оси OX, то уравнение отраженного луча можно записать как: y = 0

2. Найдем угол пересечения прямых 3x + y - 2 = 0 и x - 3y + 1 = 0: Для этого найдем угол между нормалями к этим прямым, а затем используем свойство, что угол между прямыми равен углу между их нормалями.

Нормаль к прямой Ax + By + C = 0 имеет координаты (A, B). Таким образом, нормали к данным прямым имеют координаты: (3, 1) и (1, -3).

Найдем угол между нормалями (угол α): $\cos(\alpha) = \frac{(3,1) \cdot (1,-3)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \approx 126.87^\circ$

Так как нам нужен угол пересечения, а не угол между нормалями, то ответ будет $180^\circ - 126.87^\circ \approx 53.13^\circ$.

3. Найдем точки A и B: Пусть точка A имеет координаты (x_A, y_A), а точка B - (x_B, y_B). Тогда, используя формулу для деления отрезка в заданном отношении, получим:

$x_A = -5 + \frac{3}{7} \cdot (6 - (-5)) = -5 + \frac{33}{7} = \frac{4}{7}$ $y_A = 4 + \frac{3}{7} \cdot ((-5) - 4) = 4 - \frac{27}{7} = -\frac{7}{7} = -1$

$x_B = -5 + \frac{4}{7} \cdot (6 - (-5)) = -5 + \frac{44}{7} = \frac{9}{7}$ $y_B = 4 + \frac{4}{7} \cdot ((-5) - 4) = 4 - \frac{36}{7} = -\frac{8}{7}$

Таким образом, точка A имеет координаты ($\frac{4}{7}, -1$), а точка B - ($\frac{9}{7}, -\frac{8}{7}$).

4. Найдем длину биссектрисы AD угла A: Для начала найдем координаты точки D, которая делит отрезок AB в заданном отношении. Пусть точка D имеет координаты (x_D, y_D).

$x_D = 4 + \frac{2}{3} \cdot (6 - 4) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ $y_D = 1 + \frac{2}{3} \cdot ((-5) - 1) = 1 - \frac{12}{3} = -\frac{11}{3}$

Теперь, чтобы найти уравнение биссектрисы AD, сначала найдем координаты точки E - середины отрезка AB:

$x_E = \frac{\frac{4}{7} + \frac{9}{7}}{2} = \frac{\frac{13}{7}}{2} = \frac{13}{14}$