Question

Плоскость β пересекает отрезки АВ и АС в их серединах – точках К и Р. Как относятся площади треугольников АВС и АКР?

Answer 1

Решение смотрите во вложении

Answer 2

Плоскость β, которая проходит через середины отрезков AB и AC, разделяет треугольник ABC на два треугольника: ABK и ACR. Поскольку плоскость проходит через середины сторон треугольника, то отрезки AK и AR тоже являются средними пропорциональными сторонами треугольника ABC.

Таким образом, треугольник AKR подобен треугольнику ABC, и их стороны соотносятся как 1:2. То есть:

AK : AB = AR : AC = 1 : 2

Теперь давайте рассмотрим площади треугольников. Площадь треугольника пропорциональна квадратам его сторон. Обозначим площадь треугольника ABC как S(ABC), а площадь треугольника AKR как S(AKR).

Так как стороны AK и AR соотносятся как 1:2, площади треугольников AKR и ABC будут соотноситься как (1/2)^2 : 1^2 = 1/4 : 1 = 1 : 4.

Таким образом, площадь треугольника AKR равна 1/4 от площади треугольника ABC. Можно сказать, что площадь треугольника АКR в 4 раза меньше площади треугольника АВС.