Question

F(x)=x/x^2+1 знайдіть похідну функції​

Answer 1

Дана функція:

$f(x) = \frac{x}{ {x}^{2} + 1 }$

Знайдемо її похідну:

$f'(x) = \frac{(x)'( {x}^{2} + 1) - x( {x}^{2} + 1)' }{( {x}^{2} + 1)^{2}} = \frac{ {x}^{2} + 1 - 2 {x}^{2} }{ {( {x}^{2} + 1) }^{2} } = \frac{1 - {x}^{2}}{ {( {x}^{2} + 1) }^{2} }$

Answer 2

Давайте знайдемо похідну функції F(x) = x / (x^2 + 1) за допомогою правила диференціювання часткових дробів.

Поділимо чисельник на знаменник за допомогою ділення зі зворотним знаком:

F(x) = x / (x^2 + 1) = x * (x^2 + 1)^(-1)

Тепере застосуємо правило ланцюгового диференціювання, де f(u) = x і g(x) = (x^2 + 1)^(-1):

F'(x) = f'(u) * g(x) = 1 * (x^2 + 1)^(-1)

Тепер візьмемо похідну виразу (x^2 + 1)^(-1). Для цього використовуємо правило ланцюгового диференціювання та правило степеневого диференціювання:

(g(x))' = -1 * (x^2 + 1)^(-2) * 2x = -2x / (x^2 + 1)^2

Отже, остаточний вираз для похідної F'(x) виглядає наступним чином:

F'(x) = -2x / (x^2 + 1)^2