Question

Найти наименьшее число которое при деление на числа 7 2 5 даёт в остатке 2

Answer 1

наименьшее трехзначное число кратное 7, 5 ,2 это 140. (числа взаимно простые)

140+2=142 наименьшее трехзначное число дающее остаток 2

Ответ: 142.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее число, которое при делении на 7, 2 и 5 даёт в остатке 2, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Обозначим искомое число как x. Тогда по условию задачи у нас есть следующая система сравнений:

x ≡ 2 (mod 7) x ≡ 2 (mod 2) x ≡ 2 (mod 5)

Для применения китайской теоремы об остатках, нужно чтобы числа, с которыми производятся деления, были попарно взаимно простыми. В данной задаче 7, 2 и 5 уже являются попарно взаимно простыми числами.

Теперь найдем остатки при делении на каждое из чисел:

x ≡ 2 (mod 7) x ≡ 0 (mod 2) x ≡ 2 (mod 5)

Следующий шаг - найти обратные коэффициенты для каждого модуля (в данном случае, для 7, 2 и 5). Обратный коэффициент для некоторого числа a по модулю m обозначается как a^(-1) и удовлетворяет условию: a * a^(-1) ≡ 1 (mod m).

Обратные коэффициенты для нашей системы:

7^(-1) ≡ 1 (mod 2) => обратный коэффициент для 7 по модулю 2 равен 1 2^(-1) ≡ 1 (mod 7) => обратный коэффициент для 2 по модулю 7 равен 1 5^(-1) ≡ 3 (mod 7) => обратный коэффициент для 5 по модулю 7 равен 3

Теперь вычислим константы для каждого модуля:

M = 7 * 2 * 5 = 70

M1 = M / 7 = 70 / 7 = 10 M2 = M / 2 = 70 / 2 = 35 M3 = M / 5 = 70 / 5 = 14

Теперь найдем частные решения для каждого уравнения:

a1 = 2 a2 = 0 a3 = 2

Теперь найдем частные решения для каждого уравнения:

y1 = M1^(-1) ≡ 10^(-1) ≡ 3 (mod 7) y2 = M2^(-1) ≡ 35^(-1) ≡ 1 (mod 2) y3 = M3^(-1) ≡ 14^(-1) ≡ 4 (mod 5)

Теперь, чтобы получить итоговое решение, мы объединяем все частные решения, умножая каждое из них на соответствующую константу:

x ≡ (a1 * M1 * y1 + a2 * M2 * y2 + a3 * M3 * y3) mod M x ≡ (2 * 10 * 3 + 0 * 35 * 1 + 2 * 14 * 4) mod 70 x ≡ (60 + 0 + 112) mod 70 x ≡ 172 mod 70

Теперь найдем наименьшее число x, удовлетворяющее системе сравнений:

x = 172 + 70k, где k - любое целое число.

Наименьшее такое положительное число x, при котором k = 0, будет равно:

x = 172 + 70 * 0 = 172

Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 7, 2 и 5 даёт в остатке 2, равно 172.