Question

Помогите решить уравнение по математике cos^2x+cos^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x)

Answer 1

(cos x)^2+(cos 2x)^2+(cos 3x)^2+(cos 4x)^2=2

(1+cos 2x)/2+(1+cos 4x)/2+(1+cos 6x)/2+(1+cos 8x)/2=2
Вроде так. Можешь сделать ответ лучшим пожалуйста?! Заранее спасибо

1+cos 2x+1+cos 4x+1+cos 6 x+1+cos 8x=4

cos 2x+cos 4x+cos 6 x+cos 8x=0

(cos 2x+cos 8x)+(cos 4x+cos 6 x)=0

2*cos 5x*cos 3x+2*cos 5x*cos x =0

cos 5x*(cos 3x+cos x)=0

2*cos 5x*cos 2x*cos x=0

Отсюда три случая

1) cos x=0 =>x= pi/2+pi*k

2) cos 2x=0 => 2x=pi/2+pi*m => x=pi/4+pi*m/2

3) cos 5x=0 => 5x=pi/2+pi*n => x=pi/10+pi*n/5

Первая серия ответов содержится в третьей, поэтому окончательно получаем

x=pi/4+pi*m/2 и x=pi/10+pi*n/5

Answer 2

Давайте по порядку решим это уравнение. У нас есть следующее уравнение:

cos²(x) + cos²(2x) = cos²(3x) + cos²(4x)

Для упрощения обозначим cos(x) как a, cos(2x) как b, cos(3x) как c и cos(4x) как d. Тогда уравнение становится:

a² + b² = c² + d²

Мы также знаем некоторые связи между этими тригонометрическими значениями:

b = 2a² - 1 c = 4a³ - 3a d = 8a⁴ - 8a² + 1

Подставим это в уравнение:

a² + (2a² - 1) = (4a³ - 3a)² + (8a⁴ - 8a² + 1)²

Раскроем скобки и упростим уравнение:

a² + 2a² - 1 = 16a⁶ - 24a⁴ + 9a² + 64a⁸ - 128a⁶ + 80a⁴ - 16a² + 1

Теперь объединим подобные члены:

3a² = 64a⁸ - 112a⁶ + 80a⁴

Поделим обе стороны на 1a²:

3 = 64a⁶ - 112a⁴ + 80a²

Это уравнение шестой степени. Решение этого уравнения может быть сложным и требует использования численных методов или специализированных программ. Но в общем случае это не приводит к аналитическому решению в виде конкретных значений для переменной a.

Если у вас есть какие-либо дополнительные ограничения или условия для переменной x, это может сильно упростить решение.