Question

Знайти точки екстремуму і екстремуми функції : f(x)=2x^3+3x^2-12x+5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f'(x)=6x^2+6x-12,  f'=0,  6x^2+6x-12=0,  x^2+x-2=0,  корни  -2  и  1,

точки экстр.     -2-max,   1 -min ___+___[-2]___-__[1]__+__f'

подставляем эти значения в функцию,

f(-2)=2*(-8)+3*4-12*(-2)+5=-16+12+24+5=25

f(1)=2*1+3*1-12*1+5=2+3-12+5=-2,      25  и -2  экстремумы функции

Answer 2

Для знаходження точок екстремуму функції спершу потрібно знайти похідну функції і вирішити рівняння першої похідної дорівнює нулю. Знайдемо спочатку першу похідну функції f(x):

f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5

f'(x) = d/dx (2x^3 + 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 + 6x - 12

Тепер розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

6x^2 + 6x - 12 = 0

Спростимо рівняння:

x^2 + x - 2 = 0

Факторизуємо його або використаємо квадратне рівняння, щоб знайти корені:

(x + 2)(x - 1) = 0

Отримали два корені: x = -2 і x = 1.

Тепер використаємо ці значення x, щоб знайти відповідні значення f(x) та визначити характер екстремуму.

1. Підставимо x = -2: f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25

2. Підставимо x = 1: f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = -2

Значення функції f(x) при x = -2 дорівнює 25, а при x = 1 дорівнює -2. Це означає, що ми маємо локальний мінімум у точці (1, -2) і локальний максимум у точці (-2, 25).

Отже, функція f(x) має локальний максимум у точці (-2, 25) і локальний мінімум у точці (1, -2).