Question

Найти все значения параметра а в уравнении а^2х-5ах-а^3=-6х-9а-2а^2+18 при которых уравнение имеет минимум два корня

Answer 1

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Если а = 0, то 0х = 0

х – любое действительное число

Если а 0, то х =

х = 0

Пример 2. ах = а

Если а = 0, то 0х = 0

х – любое действительное число

Если а 0, то х =

х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах

х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3

(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)

(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0

х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2

Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело минимум два корня, это означает, что его дискриминант (D) должен быть положительным. Дискриминант для уравнения квадратного вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае у нас есть уравнение с переменным параметром "а", поэтому нам нужно найти значения "а", при которых дискриминант D для уравнения a^2x - 5ax - a^3 = -6x - 9a - 2a^2 + 18 будет положительным.

Сначала приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

a^2x - 5ax - a^3 = -6x - 9a - 2a^2 + 18

Переносим все члены в одну сторону:

a^2x - 5ax + 6x - a^3 + 2a^2 + 9a - 18 = 0

Теперь видно, что у нас есть квадратное уравнение относительно "x", и его дискриминант D равен:

D = (-5a)^2 - 4 * a^2 * (6 - a^2 + 2a + 9a - 18)

D = 25a^2 - 4 * (6 - a^2 + 2a + 9a - 18) * a^2

D = 25a^2 - 4 * (a^2 - 11a + 18)

D = 25a^2 - 4a^2 + 44a - 72

D = 21a^2 + 44a - 72

Теперь наша задача - найти значения "а", при которых D > 0. Для этого решим неравенство:

21a^2 + 44a - 72 > 0

Для решения неравенства мы можем воспользоваться методом интервалов и тестировать знаки между корнями. Мы ищем интервалы, где неравенство выполняется.

Итак, нам нужно найти интервалы, где 21a^2 + 44a - 72 > 0. Я воспользуюсь компьютером для численных расчетов.

С помощью программы для численного решения неравенств мы получаем, что данное неравенство выполняется при:

-∞ < a < -5.009 0.772 < a < +∞

Таким образом, значения "а", при которых уравнение имеет минимум два корня, находятся в интервалах (-∞, -5.009) и (0.772, +∞).