Question

В остроугольном треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает высоту ВД в точке К. Причём КД равно 17 см. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ

Answer 1

Биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Если опустить из т.К ⊥ на АС и на АВ, то они будут равны.

По условию КД=17 см  ⇒  КЕ (⊥ на АВ)=17 см.

Ответ: 17 см.

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из этой точки опустить ⊥ на прямую. Его длина и есть расстояние от точки до прямой.

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• $AB = c$ - сторона треугольника противолежащая углу $C$,
• $AC = b$ - сторона треугольника противолежащая углу $B$,
• $BC = a$ - сторона треугольника противолежащая углу $A$,
• $BD = h$ - высота треугольника, проведенная из вершины $B$,
• $AK = x$ - расстояние от точки $K$ до прямой $AB$.

Известно, что биссектриса угла $A$ делит противолежащую ей сторону $a$ на две отрезка, пропорциональных друг другу и делящих эту сторону в отношении сторон $b$ и $c$. Это означает, что:

$\frac{AB}{AK} = \frac{BC}{CK}$.

Зная, что $AB = c$ и $BC = a$, мы можем выразить $AK$ через $CK$:

$\frac{c}{x} = \frac{a}{CK}$.

Решая это уравнение относительно $CK$, получаем:

$CK = \frac{ax}{c}.$

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $BCK$, где $CK$ - гипотенуза, $BD = h$ - катет, а $BK$ - другой катет. Мы можем использовать теорему Пифагора:

$BK^2 + CK^2 = BC^2.$

Подставляя $BK = h$ и $CK = \frac{ax}{c}$, а также замечая, что $BC = a$, получаем:

$h^2 + \left(\frac{ax}{c}\right)^2 = a^2.$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{a^2c^2 - a^2h^2}{a^2} = c^2 - h^2.$

$x = \sqrt{c^2 - h^2}.$

Подставляя известные значения $c$ и $h$, мы можем вычислить $x$:

$x = \sqrt{17^2 - h^2} = \sqrt{289 - h^2}.$

Теперь остается только вычислить $h$. В прямоугольном треугольнике $ABD$:

$h^2 + BD^2 = AD^2.$

Зная, что $BD = h$ и обозначая $AD$ как $b$, получаем:

$h^2 + h^2 = b^2.$

$2h^2 = b^2.$

$h^2 = \frac{b^2}{2}.$

$h = \frac{b}{\sqrt{2}}.$

Подставляя это значение $h$ обратно в выражение для $x$, получаем:

$x = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2}.$