Question

Задание 13.Профильная математика. Решить уравнение: √2-х + √-х-1 = √-5х-7 перед выражениями стоят корни и эти корни идут до конца выражения,то есть √2-х и корень идёт до икса,и так со всеми тремя выражениями.

Answer 1

ОДЗ:

    $\displaystyle \begin{cases} 2-x \geq 0 \\ -x-1 \geq 0 \\ -5x-7 \geq 0 \end{cases} ; \;\;\;\;\; \begin{cases} x \leq 2 \\ x \leq -1 \\ x \leq -\frac{7}{5} \end{cases}; \;\;\;\;\; x \leq \dfrac{7}{5}$

Решаем уравнение:

    $\displaystyle \sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1}=\sqrt{-5x-7} \\\\\Big(\sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1}\Big)^2=\Big(\sqrt{-5x-7}\Big)^2\\\\(2-x)+2\,\sqrt{2-x}\,\sqrt{-x-1} + (-x-1) =-5x-7 \\\\2 \, \sqrt{2-x} \, \sqrt{-x-1} =-3x-8 \;\;\; (!) \\\\\Big(2 \, \sqrt{2-x} \, \sqrt{-x-1}\Big)^2 =\Big(-3x-8\Big)^2 \\\\4 \, (2-x) \, (-x-1) = (3x+8)^2 \\\\4x^2-4x-8 = 9x^2+48x+64 \\\\5x^2+52x+72 = 0 \\\\x_1 = \frac{-52-\sqrt{1264}}{10} = \frac{-26-2\sqrt{79}}{5} \\\\x_2 = \frac{-52+\sqrt{1264}}{10} = \frac{-26+2\sqrt{79}}{5}$

Проверим, точно ли нам подходят эти два корня. В ходе решения у нас, помимо ОДЗ, $x \leq - \frac{7}{5}$, появилось еще одно условие: $-3x-8 \geq 0$. То есть $x \leq - \frac{8}{3}$. Понятно, что нам нужно проверить только его.

    $\displaystyle \frac{-26-2\sqrt{79}}{5} \leq -\frac{8}{3} \\\\-39-3\sqrt{79} \leq -20\\\\-3\sqrt{79} \leq 19 \;\;\;\;\; \checkmark\\\\\displaystyle \frac{-26+2\sqrt{79}}{5} > \frac{-26+2\sqrt{64}}{5} = - \frac{10}{5} = -2 \;\;\; > \; -\frac{8}{3}$

Значит, первый корень подходит! А второй - нет. Задача решена!

Ответ:

  $\boxed{ \displaystyle \frac{-26-2\sqrt{79}}{5} }$

Answer 2

Для решения данного уравнения с корнями, давайте разберемся с каждым корнем по отдельности.

Уравнение: √(2 - x) + √(-x - 1) = √(-5x - 7)

Сначала обратим внимание на область допустимых значений. Корень √(a) определен только для неотрицательных значений "a". Это означает, что выражения под корнями должны быть неотрицательными.

1. √(2 - x) - в этом случае 2 - x >= 0 => x <= 2
2. √(-x - 1) - здесь -x - 1 >= 0 => x <= -1
3. √(-5x - 7) - в данном случае -5x - 7 >= 0 => x >= -7/5

Совместим эти условия: -7/5 <= x <= -1. Таким образом, у нас есть область допустимых значений для "x".

Теперь давайте посмотрим на само уравнение:

√(2 - x) + √(-x - 1) = √(-5x - 7)

Так как в рамках нашей области допустимых значений -7/5 <= x <= -1, можем с уверенностью сказать, что все выражения под корнями положительны.

Давайте попробуем численно найти решение данного уравнения, используя численные методы. Например, можно воспользоваться методом итераций или численного решения уравнений.

Если вы имеете доступ к программам для математического вычисления, вы можете воспользоваться такими программами для нахождения численных приближенных решений уравнения.

Обратите внимание, что данное уравнение не имеет аналитического решения в рамках стандартных функций.