Question

Докажите тождество: А \ ( В ∩ С ) = ( А \ В ) U ( А \ С)

Answer 1

$\displaystyle\\A\backslash(B\cap C)=A\cap(\overline{B\cap C})=A\cap(\overline B \cup \overline C)=(A\cap \overline B)\cup (A\cap \overline C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)$

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся включением в обе стороны.

Пусть x принадлежит левой стороне уравнения (A \ (B ∩ C)). Это означает, что x принадлежит множеству A и не принадлежит одновременно множествам B и C. То есть x принадлежит A, но не принадлежит B ∩ C.

Следовательно, x принадлежит A \ B или x принадлежит A \ C (или обоим множествам). Это означает, что x принадлежит множеству (A \ B) U (A \ C), что соответствует правой стороне уравнения ((A \ B) U (A \ C)).

Таким образом, мы показали, что любой элемент из левой стороны уравнения также принадлежит правой стороне уравнения.

Теперь докажем обратное включение. Пусть x принадлежит правой стороне уравнения ((A \ B) U (A \ C)). Это означает, что x принадлежит A \ B или x принадлежит A \ C (или обоим множествам).

Если x принадлежит A \ B, то он принадлежит A, но не принадлежит B. Это означает, что x принадлежит левой стороне уравнения (A \ (B ∩ C)).

Аналогично, если x принадлежит A \ C, то он принадлежит A и не принадлежит C, что также означает, что x принадлежит левой стороне уравнения (A \ (B ∩ C)).

Таким образом, любой элемент из правой стороны уравнения принадлежит левой стороне уравнения.

Мы доказали обе включенности, следовательно, тождество верно:

A \ (B ∩ C) = (A \ B) U (A \ C).