Question

Мастер решил склеить футбольный мяч из шестиугольников и четырехугольников, чтобы выполнялись все традиционные технологии: в каждой вершине сходится ровно 3 ребра и каждые два многоугольника граничат ровно по 1 ребру. Сколько должно быть четырехугольников в таком футбольном мяче?

Answer 1

Ответ:

Ответ: 6.

Выразим искомое количество фигур за x и y. Задачу решим при помощи формулы Эйлера для многогранников (и заодно для планарных, графов, кстати) - Вершины-Ребра+Грани=2. В-Р+Г=2. Данная величина 2 является Эйлеровой характеристикой

Вершин d них изначально 6x+4y, однако, в каждой вершине сходится три ребра, поэтому количество вершин (6x+4y)/3.

К каждому ребру "примыкают" два многоугольника. Ребер (6x+4y)/2.

Граней x+y. Это суммарное количество всех фигур.

Ну дальше школа. (6x+4y)/3 - (6x+4y)/2 + x + y =2.

Решая, мы останемся без икса, а y=6. Это означает, что в такой фигуре будет шесть четырехугольников.

Замечу, что обычно мячи сшиваются из пятиугольников и шестиугольников. И пятиугольников всегда 12, что доказывается точно так же.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы рассчитать количество четырехугольников в таком футбольном мяче, можно использовать формулу Эйлера для плоских графов:

V - E + F = 2,

где V - количество вершин, E - количество ребер, F - количество граней.

В данном случае, так как в каждой вершине сходится ровно 3 ребра, у нас есть:

3 * V = 2 * E, (1)

также известно, что каждые два многоугольника граничат ровно по 1 ребру, значит:

E = 2 * F / 3. (2)

Подставим (2) в (1):

3 * V = 2 * (2 * F / 3),

V = 2 * F / 3.

Теперь подставим это в формулу Эйлера:

2 * F / 3 - E + F = 2,

2 * F / 3 - 2 * F / 3 = 2 - E,

• E = 2 - E,

2 * E = 2,

E = 1.

Таким образом, у нас есть всего 1 ребро в данной конструкции.

Теперь, зная количество ребер, можно найти количество граней (F) с помощью формулы (2):

1 = 2 * F / 3,

F = 3 / 2.

Итак, у нас есть 3/2 грани.

Теперь, зная количество вершин (V), ребер (E) и граней (F), мы можем использовать формулу Эйлера:

V - E + F = 2,

V - 1 + 3/2 = 2,

V + 1/2 = 2,

V = 3/2.

Итак, у нас есть 3/2 вершины.

Но так как число вершин должно быть целым, а число граней и ребер должно быть положительным, такая конструкция невозможна. Таким образом, нельзя создать футбольный мяч с заданными условиями.