Question

Найдите с помощью производной промежутки монотонности функции y=2x-1/6x^3

Answer 1

Ответ:

у=2х-1/6х³

0=2х-1/6х³

х¹=-2√3 , х²=0 , х³=2√3

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности функции $y = 2x - \frac{1}{6}x^3$, нужно вычислить её производную и анализировать знак производной на различных интервалах.

Первоначально найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = 2x - \frac{1}{6}x^3$

$y' = 2 - \frac{1}{2}x^2$

Теперь определим, где производная $y'$ положительна (функция возрастает) и где она отрицательна (функция убывает). Для этого решим неравенство:

$2 - \frac{1}{2}x^2 > 0$

Сначала найдем корни этого неравенства:

$\frac{1}{2}x^2 = 2$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Теперь возьмем точки внутри и вне интервалов между корнями и проверим знак производной $y'$:

1. При $x < -2$: Выберем $x = -3$, подставим в $y'$: $y'(-3) = 2 - \frac{1}{2}(-3)^2 = 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}$. Производная отрицательна, следовательно, функция $y$ убывает на этом интервале.

2. Между -2 и 2: Выберем $x = 0$, подставим в $y'$: $y'(0) = 2 - \frac{1}{2}(0)^2 = 2$. Производная положительна, значит, функция $y$ возрастает на этом интервале.

3. При $x > 2$: Выберем $x = 3$, подставим в $y'$: $y'(3) = 2 - \frac{1}{2}(3)^2 = 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}$. Производная снова отрицательна, значит, функция $y$ убывает на этом интервале.

Итак, функция $y = 2x - \frac{1}{6}x^3$ возрастает на интервале $[-2, 2]$ и убывает на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.