Question

50 БАЛЛОВ!!!Найдите все первообразные функции f(х) =(7x-1)^5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

F(x)=∫f(x)dx

∫(7x-1)⁵dx= (7x-1)⁶/6*7+C= (7x-1)⁶/42 +C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = (7x - 1)^5$, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям несколько раз, чтобы упростить интеграл.

Пусть $u = (7x - 1)^5$ и $dv = dx$, тогда $du = 5(7x - 1)^4 dx$ и $v = x$. Применяем метод интегрирования по частям:

$$\begin{align*} \int (7x - 1)^5 dx &= x(7x - 1)^5 - \int x \cdot 5(7x - 1)^4 dx \\ &= x(7x - 1)^5 - 5 \int x(7x - 1)^4 dx. \end{align*}$$

Снова применяем интегрирование по частям для второго интеграла:

Пусть $u = x$ и $dv = (7x - 1)^4 dx$, тогда $du = dx$ и $v = \frac{1}{5} (7x - 1)^5$.

$$\begin{align*} - 5 \int x(7x - 1)^4 dx &= -\frac{5}{5} \int x(7x - 1)^4 dx \\ &= -\frac{1}{5} x(7x - 1)^5 + \frac{1}{5} \int (7x - 1)^5 dx. \end{align*}$$

Теперь мы можем объединить оба интеграла:

$$\begin{align*} \int (7x - 1)^5 dx &= x(7x - 1)^5 - 5 \left( -\frac{1}{5} x(7x - 1)^5 + \frac{1}{5} \int (7x - 1)^5 dx \right) \\ &= x(7x - 1)^5 + x(7x - 1)^5 - \frac{1}{5} \int (7x - 1)^5 dx. \end{align*}$$

Теперь давайте выразим интеграл на правой стороне через $I$:

$$\frac{6}{5} \int (7x - 1)^5 dx = 2x(7x - 1)^5.$$

Теперь делим обе стороны на $\frac{6}{5}$:

$$\int (7x - 1)^5 dx = \frac{5}{6} \cdot 2x(7x - 1)^5 = \frac{10}{6} x(7x - 1)^5 = \frac{5}{3} x(7x - 1)^5.$$

Итак, первообразная функция $f(x) = (7x - 1)^5$ равна:

$$F(x) = \frac{5}{3} x(7x - 1)^5 + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.