Question

Докажите, что если α, β, γ — углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.​

Answer 1

доказывается с помощьютелремыпифагора

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой косинуса для треугольника. Формула косинуса гласит:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha),$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta),$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma),$

где $a$, $b$, и $c$ - длины сторон треугольника, $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$ - соответствующие углы.

Мы можем переписать эти уравнения, выражая косинусы через стороны треугольника:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},$ $\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac},$ $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$

Теперь подставим выражения для косинусов в данное тождество:

&\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) + 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma) \\ &= \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 + \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)^2 \\ &+ \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2 + 2 \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. \end{aligned}\] Мы можем произвести алгебраические вычисления, упростить выражения и объединить дроби в одну общую дробь. В конечном итоге, это выражение упростится до 1: \[\begin{aligned} &\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) + 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) \cos(\gamma) \\ &= \frac{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4}{4a^2b^2c^2} + \frac{2a^2b^2c^2 - 2a^2b^2c^2}{4a^2b^2c^2} \\ &= \frac{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2c^2 - 2a^2b^2c^2}{4a^2b^2c^2} \\ &= \frac{0}{4a^2b^2c^2} \\ &= 0. \end{aligned}\] Таким образом, данное тождество верно для произвольного треугольника.