Question

Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса 2 см, если два угла треугольника равны π/3 и π/4.

Answer 1

Ответ:

$4.73$ см^2

Пошаговое объяснение:

1) Сначала находим  угол А:

$A=\pi-\frac{\pi }{3} -\frac{\pi } {4} =\frac{5\pi }{12}$

2) По теореме синусов:

$\frac{AB}{sin(C)} =\frac{AC}{sin(B)}=\frac{BC}{sin(A)} =2R$

$AB=2R*sin(C)=2*2*sin(\frac{\pi }{4} )=2\sqrt{2} \\AC=2R*sin(B)=2*2*sin(\frac{\pi }{3} )=2\sqrt{3} \\BC=2R*sin(A)=2*2*sin(\frac{5\pi }{12} )=4sin(\frac{5\pi }{12} )$

3)$S=\frac{AB*BC*AC}{4R}=\frac{2\sqrt{2}*2\sqrt{3}*4sin(\frac{5\pi}{12}) }{4*2} =2\sqrt{6} *sin(\frac{5\pi}{12})=4.73$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойством, что вписанный в окружность треугольник с вершинами на окружности имеет свои углы, противолежащие дугам окружности, вдвое большими, чем эти дуги.

Так как в данной задаче два угла треугольника равны π/3 и π/4, то третий угол можно найти, вычитая сумму данных углов из π:

π - (π/3 + π/4) = 7π/12

Теперь, используя найденные углы, мы можем построить треугольник вписанный в окружность и разделить его на два равнобедренных треугольника, образованных медианой.

Теперь рассмотрим один из равнобедренных треугольников. Мы знаем, что у него один из углов равен π/3, а медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является биссектрисой этого угла, что делит угол π/3 пополам, образуя прямой угол.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой равной радиусу окружности (2 см), а один из острых углов равен π/6 (половина π/3).

Теперь мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения длин сторон треугольника. В данном случае, нам понадобится тангенс угла π/6:

tan(π/6) = противолежащий катет / прилежащий катет

2/√3 = противолежащий катет / 2 (прилежащий катет)

Противолежащий катет = 2√3 / 3

Теперь мы можем найти площадь прямоугольного треугольника:

Площадь = (прилежащий катет * противолежащий катет) / 2 Площадь = (2 * 2√3 / 3) / 2 Площадь = 2√3 / 3 кв. см

Так как у нас есть два таких равнобедренных треугольника, образованных медианой, их площади складываются:

Общая площадь = 2 * (2√3 / 3) кв. см = 4√3 / 3 кв. см

Итак, площадь треугольника, вписанного в круг радиуса 2 см, с двумя углами π/3 и π/4, составляет 4√3 / 3 кв. см.