Question

Знайти точку максимуму функції f(x) похідної f'(x)=x(x+2)(x-4)

Answer 1

f`(x) = x(x+2)(x-4) = 0

точкою максимуму буде точка 0 (див.рис) оскільки знак похідної змінюється з плюса на мінус.

ВІДПОВІДЬ: 0

Answer 2

Щоб знайти точку максимуму функції f(x), спочатку потрібно знайти точки, де похідна f'(x) дорівнює нулю або не існує (де f'(x) перетинає вісь x). У цих точках можуть бути локальні максимуми або мінімуми.

Спочатку знайдемо похідну f'(x) функції f(x):

f'(x) = x(x+2)(x-4)

Щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю, розподілимо вираз f'(x) на множники:

x(x+2)(x-4) = 0

Тепер ми маємо три множники: x, (x+2) і (x-4). Отже, один або більше з цих множників повинні дорівнювати нулю.

1. x = 0
2. x+2 = 0 => x = -2
3. x-4 = 0 => x = 4

Таким чином, ми отримали три точки, де похідна f'(x) дорівнює нулю: x = 0, x = -2 і x = 4.

Тепер ми перевіримо, яка з цих точок є точкою максимуму, а яка є точкою мінімуму, або чи вони є такими взагалі. Для цього можна застосувати другу похідну f''(x).

f''(x) = 2x(x+2) + x(x-4) + (x+2)(x-4)

f''(x) = 2x^2 + 4x + x^2 - 4x + 2x - 8

f''(x) = 3x^2 + 2x - 8

Тепер, щоб знайти знак другої похідної у кожній з трьох точок, підставимо x = 0, x = -2 і x = 4 у вираз f''(x):

1. x = 0: f''(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 8 = -8
2. x = -2: f''(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 8 = 12 + (-4) - 8 = 0
3. x = 4: f''(4) = 3(4)^2 + 2(4) - 8 = 48 + 8 - 8 = 48

Отже, ми отримали наступні результати:

1. f''(