Question

Пожалуйста помогите решить уравнение Dy/dx+2y=3x^2: y(0)=1 Большое спасибо!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель. Уравнение имеет вид dy/dx + 2y = 3x^2. Если мы умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель, то получим: множитель * dy/dx + 2множитель * y = 3x^2 * множитель.

Мы хотим выбрать множитель таким образом, чтобы левая часть стала производной от произведения множителя и функции y. В данном случае левая часть должна стать производной от множителя * y. То есть мы ищем такую функцию μ(x), которая удовлетворяет уравнению: μ'(x) + 2μ(x) = 0.

Решим это уравнение. Уравнение μ'(x) + 2μ(x) = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Ищем решение в виде μ(x) = e^(∫2dx). Интегрируем: ∫2dx = 2x. Получаем: μ(x) = e^(2x).

Шаг 2: Умножаем обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель: e^(2x) * dy/dx + 2e^(2x) * y = 3x^2 * e^(2x).

Теперь левая часть стала производной от произведения множителя и функции y: d/dx (e^(2x) * y) = 3x^2 * e^(2x).

Шаг 3: Интегрируем обе части уравнения по x: ∫ d/dx (e^(2x) * y) dx = ∫ 3x^2 * e^(2x) dx.

Интегрируя левую часть по x, получим: e^(2x) * y = ∫ 3x^2 * e^(2x) dx.

Шаг 4: Вычисляем интеграл в правой части уравнения. Для интегрирования ∫ 3x^2 * e^(2x) dx можно воспользоваться интегрированием по частям. Правило интегрирования по частям утверждает: ∫ u dv = u * v - ∫ v du.

В данном случае возьмем u = x^2 и dv = 3e^(2x) dx. Тогда du = 2x dx и v = ∫ 3e