Question

Дан произвольный четырёхугольник АВМТ (никакие пары противоположных сторон не параллельны). Точки L и Н - середины отрезков АМ и МВ. Точки G и Y - середины отрезков АТ и ВТ. Найдите периметр четырёхугольника LHYG, если АВ + МТ = 20.

Answer 1

Ответ:

периметр равно 10+10 = 20

Answer 2

Обозначим длину стороны AB как "a", длину стороны MT как "b", длину стороны AT как "c" и длину стороны VT как "d".

Известно, что АВ + МТ = 20, то есть a + b = 20.

Также, так как L и Н - середины отрезков АМ и МВ, то LM = MN = NB = b/2.

Аналогично, так как G и Y - середины отрезков АТ и ВТ, то AG = GY = YT = c/2.

Периметр четырёхугольника LHYG составляют отрезки LY, YG, GH и HL.

LY = LM + MY = b/2 + c/2 = (b + c)/2. YG = GY + YT = c/2 + c/2 = c. GH = AG + AH = c/2 + b/2 = (c + b)/2. HL = HM + ML = b/2 + b/2 = b.

Теперь, периметр четырёхугольника LHYG можно выразить как сумму всех этих отрезков:

Perimeter LHYG = LY + YG + GH + HL = (b + c)/2 + c + (c + b)/2 + b = 2b + 2c.

Так как у нас есть условие a + b = 20, то мы можем выразить "b" через "a":

b = 20 - a.

Теперь можем выразить периметр через "a" и "c":

Perimeter LHYG = 2b + 2c = 2(20 - a) + 2c = 40 - 2a + 2c.

Осталось выразить "a" и "c" через известные величины. Изначально у нас было дано, что AB + MT = 20:

a + b = 20, a + (20 - a) = 20, 20 = 20 (это подтверждает начальное условие).

Таким образом, у нас также есть, что c = VT = 20.

Теперь мы можем подставить значение "c" в выражение для периметра:

Perimeter LHYG = 40 - 2a + 2c = 40 - 2a + 2 * 20 = 80 - 2a.

Таким образом, периметр четырёхугольника LHYG равен 80 - 2a.