Question

ABC - правильный треугольник со стороной 3, О - точка, лежащая вне плоскости треугольника, причём ОА=ОВ=ОС=2 корня из 3. Найдите угол, который образуют прямые ОА, ОВ, ОС с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами векторов и плоскостей.

Сначала давайте найдем векторы $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$. Из условия $OA = OB = OC = 2\sqrt{3}$ можно сказать, что эти векторы имеют одинаковую длину.

Так как точка $O$ находится вне плоскости треугольника $ABC$, она лежит по одну сторону плоскости. Пусть $\overrightarrow{n}$ - нормальный вектор плоскости $ABC$. Тогда для векторов $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$ верно следующее:

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{n} < 0$ $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{n} < 0$ $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{n} < 0$

Где $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов. Это означает, что векторы $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$ направлены в сторону, противоположную нормальному вектору плоскости.

Так как длины векторов одинаковы, и они направлены в одной и той же полуплоскости относительно плоскости $ABC$, они образуют угол $\alpha$ с плоскостью. Этот угол можно найти, используя тригонометрию.

$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{n}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right|}$

Так как длина вектора $\overrightarrow{OA}$ равна $2\sqrt{3}$, а нормальный вектор $\overrightarrow{n}$ можно найти как векторное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, нормированный на единичную длину.

$\overrightarrow{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}$

Таким образом, угол $\alpha$ между векторами $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и плоскостью $ABC$ 0 0