Question

Решить Диф. Уравнение 1 порядка y' x = y + (x^2 + y^2)^(1/2)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение не является линейным, и для его решения требуется использовать метод разделения переменных. Процедура решения будет следующей:

1. Разделим переменные, переместив все члены, связанные с y, на одну сторону уравнения:

   y'x - y = (x^2 + y^2)^(1/2)

2. Разделим обе стороны на (x^2 + y^2)^(1/2):

   (y'x - y) / (x^2 + y^2)^(1/2) = 1

3. Введем замену переменных, чтобы свести уравнение к более простому виду. Пусть z = y/x, тогда y' = z'x + z. Подставим это в уравнение:

   z'x + z - z = 1 z'x = 1

4. Разделим обе стороны на x:

   z' = 1/x

5. Теперь это уравнение можно интегрировать. Проинтегрируем обе стороны по x:

   ∫(1/z') dx = ∫(1/x) dx ∫(1/z') dx = ln|x| + C₁

6. Теперь выразим z из интегрального выражения:

   ln|z| = ln|x| + C₁ z = e^(ln|x| + C₁) z = C₁ * e^(ln|x|) z = C₁ * |x|

7. Восстановим y из z:

   y = z * x y = C₁ * |x| * x

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения будет:

y = C * |x| * x,

где C - произвольная постоянная.