Question

Учитель написал на доске натуральное число. Руслан заметил, что при делении на 4 оно даёт остаток 2; при делении на 6 оно даёт остаток 4; при делении на 7 оно даёт остаток 5. Какое наименьшее значение может принимать число, написанное на доске?

Answer 1

Ответ:

Тань:28

Пошаговое объяснение:

6*4+5=28

Answer 2

Давайте рассмотрим систему сравнений, которую предоставили условия задачи:

1. $x \equiv 2 \pmod{4}$ (остаток от деления на 4 равен 2)
2. $x \equiv 4 \pmod{6}$ (остаток от деления на 6 равен 4)
3. $x \equiv 5 \pmod{7}$ (остаток от деления на 7 равен 5)

Мы можем использовать китайскую теорему об остатках, чтобы найти решение этой системы сравнений и найти наименьшее значение, удовлетворяющее всем условиям.

Для начала, давайте найдем общее решение для остатка $x$ при делении на произведение модулей: $4 \cdot 6 \cdot 7 = 168$.

Теперь мы можем решить систему сравнений по отдельности. Рассмотрим первое уравнение ($x \equiv 2 \pmod{4}$). Чтобы найти решение, добавим к общему решению для $x$ (которое равно $168k$, где $k$ - целое число) такое число $n$, которое удовлетворяет условию $n \equiv 2 \pmod{4}$. Таким числом будет 2.

Аналогично, для второго уравнения ($x \equiv 4 \pmod{6}$), добавим к $168k$ такое число $n$, которое удовлетворяет условию $n \equiv 4 \pmod{6}$. Таким числом будет 10.

И наконец, для третьего уравнения ($x \equiv 5 \pmod{7}$), добавим к $168k$ такое число $n$, которое удовлетворяет условию $n \equiv 5 \pmod{7}$. Таким числом будет 12.

Суммируя общее решение и все найденные значения $n$:

$x = 168k + 2 = 168k + 10 = 168k + 12$.

Теперь нам нужно найти такое минимальное значение $x$, которое может быть записано на доске. Это достигается, когда $k = 1$, так как это обеспечивает наименьшее значение для $168k$. Таким образом, минимальное значение для числа, записанного на доске, будет $x = 168 \cdot 1 + 2 = 170$.

Итак, наименьшее значение числа, написанного на доске, равно 170.