Question

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера 2х-у+3z=7 x+2y-z=4 3x-3y-2z=1

Answer 1

Дана система:

A =  

2         -1        3

1          2       -1

3       -3        -2 .

BT = (7,4,1) .

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель:

∆ = 2*(2*(-2)-(-3)*(-1))-1*((-1)*(-2)-(-3)*3)+3*((-1)*(-1)-2*3) = -40 .

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.

7 -1 3

4 2 -1

1 -3 -2 .

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = 7*(2*(-2)-(-3)*(-1))-4*((-1)*(-2)-(-3)*3)+1*((-1)*(-1)-2*3) = -98 .

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.

2          7          3

1         4            -1

3           1          -2 .

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = 2*(4*(-2)-1*(-1))-1*(7*(-2)-1*3)+3*(7*(-1)-4*3) = -54 .

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.

2        -1       7

1        2          4

3      -3          1 .

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 =  2*(2*1-(-3)*4)-1*((-1)*1-(-3)*7)+3*((-1)*4-2*7) = -46.

Выпишем отдельно найденные переменные:

x = -98 / -40 = 2,45

y = -54 / -40 = 1,35

z = -46 / -40 = 1,15 .

Проверка.

2*2.45-1*1.35+3*1.15 = 7 .

1*2.45+2*1.35-1*1.15 = 4 .

3*2.45-3*1.35-2*1.15 = 1 .

Answer 2

Метод Крамера - це метод розв'язання системи лінійних рівнянь, де кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. У вашій системі є три рівняння і три невідомих (x, y, z). Основна ідея полягає в обчисленні коефіцієнтів, які отримуються, коли один із стовпчиків замінюється відомими значеннями правої частини, і потім знаходяться визначники матриць для кожного невідомого.

Ваша система рівнянь:

1. 2x - y + 3z = 7
2. x + 2y - z = 4
3. 3x - 3y - 2z = 1

Спочатку складемо матрицю коефіцієнтів (A) та стовпчик вільних членів (B):

cssCopy code
A = | 2  -1   3 |
    | 1   2  -1 |
    | 3  -3  -2 |

B = | 7 |
    | 4 |
    | 1 |

Знайдемо визначник матриці A (D):

D = det(A) = 2 * 2 * (-2) + (-1) * (-1) * 3 + 3 * 1 * (-3) = -4 + 3 - 9 = -10

Тепер замінимо перший стовпчик матриці A на стовпчик B і знайдемо визначник Dx:

scssCopy code
Dx = | 7  -1   3 |
     | 4   2  -1 |
     | 1  -3  -2 |

Dx = det(Dx) = 7 * 2 * (-2) + (-1) * (-1) * 1 + 3 * 4 * (-3) = -28 + 1 - 36 = -63

Тепер замінимо другий стовпчик матриці A на стовпчик B і знайдемо визначник Dy:

scssCopy code
Dy = | 2   7   3 |
     | 1   4  -1 |
     | 3   1  -2 |

Dy = det(Dy) = 2 * 4 * (-2) + 7 * (-1) * 3 + 3 * 1 * 1 = -16 - 21 + 3 = -34

Нарешті, замінимо третій стовпчик матриці A на стовпчик B і знайдемо визначник Dz:

scssCopy code
Dz = | 2  -1   7 |
     | 1   2   4 |
     | 3  -3   1 |

Dz = det(Dz) = 2 * 2 * 1 + (-1) * 4 * 3 + 7 * 1 * (-3) = 4 - 12 - 21 = -29

Отже, розв'язок системи буде:

x = Dx / D = -63 / -10 = 6.3 y = Dy / D = -34 / -10 = 3.4 z = Dz / D = -29 / -10 = 2.9

Отже, розв'язок системи рівнянь методом Крамера: x ≈ 6.3, y ≈ 3.4, z ≈ 2.9.