Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y"-y'-2y=0 если y=3 и y'=0 при x=0

Answer 1

Ответ:0

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, мы будем искать функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению y'' - y' - 2y = 0, а также начальным условиям y(0) = 3 и y'(0) = 0.

Попробуем предположить, что решение имеет вид y(x) = e^(rx), где r - некоторая константа, которую нужно найти. Подставляя это выражение в уравнение, получаем:

y'' - y' - 2y = 0 r^2 e^(rx) - r e^(rx) - 2 e^(rx) = 0

Разделим обе стороны на e^(rx), чтобы упростить уравнение:

r^2 - r - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно r:

r = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1) r = (1 ± √(1 + 8)) / 2 r = (1 ± √9) / 2 r = (1 ± 3) / 2

Итак, у нас есть два корня: r1 = 2 и r2 = -1.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' - y' - 2y = 0 имеет вид:

y(x) = c1 * e^(2x) + c2 * e^(-x),

где c1 и c2 - произвольные константы.

Теперь воспользуемся начальными условиями:

y(0) = c1 * e^(20) + c2 * e^(-0) = c1 + c2 = 3, y'(0) = 2c1 * e^(20) - c2 * e^(-0) = 2c1 - c2 = 0.

Из первого уравнения находим c2 = 3 - c1, подставляем это во второе уравнение:

2c1 - (3 - c1) = 0, 3c1 = 3, c1 = 1.

Тогда c2 = 3 - c1 = 3 - 1 = 2.

Итак, частное решение с заданными начальными условиями y(0) = 3 и y'(0) = 0:

y(x) = e^(2x) + 2 * e^(-x).