Question

Найдите точку минимума функции Y=x3 +12x2+36x+5

Answer 1

Производная 3x^2+24x+36=3*(x^2+8x+12)=3*(x+2)(x+6)  равна 0 при х=-6 и х=-2.

При х=-2 значение  функции -8+48-72+5=45-72=-27

при х=-6   значение  функции -216+412-216+5=5

Значит минимум функции  достигается при х=-2. Но это локальный минимум, т.к. при х стремящемся к  минус бесконечнсти значение функции  бесконечно убывает.

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции Y = x^3 + 12x^2 + 36x + 5, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции Y по переменной x.
2. Найдите точки, в которых производная равна нулю.
3. Проверьте, являются ли эти точки точками минимума, максимума или седловыми точками, используя вторую производную.

Шаг 1: Найдем производную функции Y:

Y' = 3x^2 + 24x + 36

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю:

3x^2 + 24x + 36 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или выразить x^2 + 8x + 12 в виде (x + a)^2 = 0:

x^2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем два значения x:

x1 = -6 x2 = -2

Шаг 3: Теперь проверим, являются ли эти точки точками минимума, максимума или седловыми точками, используя вторую производную.

Y'' = 6x + 24

Для x1 = -6:

Y''(-6) = 6*(-6) + 24 = -12

Для x2 = -2:

Y''(-2) = 6*(-2) + 24 = 12

Теперь рассмотрим результаты:

• Для x1 = -6, Y''(-6) < 0, что означает, что это точка локального максимума.
• Для x2 = -2, Y''(-2) > 0, что означает, что это точка локального минимума.

Таким образом, точка минимума функции Y = x^3 + 12x^2 + 36x + 5 находится при x = -2. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = -2 в исходную функцию:

Y(-2) = (-2)^3 + 12*(-2)^2 + 36*(-2) + 5 = -8 + 48 - 72 + 5 = -27

Итак, точка минимума функции находится при x = -2, и ее значение равно -27.