Question

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а один из катетов- 15 см. Найдите гипотенузу и второй катет треугольника. (ответ должен получиться 25 см и 20 см) Заранее спасибо за помощь!

Answer 1

Ответ:

АС=20см; АВ=25см

Пошаговое объяснение:

Дано

∆АСВ- прямоугольный.

<С=90°

СD=12 см высота.

СВ=15см катет ∆АСВ.

АВ=?

АС=?

Решение:

∆СDB- прямоугольный

СВ- гипотенуза ∆СВD

по теореме Пифагора найдем

DB=√(CB²-CD²)=√(15²-12²)=(225-144)=√81=

=9см.

CD=√(AD*DB)

AD=CD²/DB=12²/9=144/9=16 см .

АВ=АD+DB=16+9=25см

По теореме Пифагора:

АС=√(АВ²-СВ²)=√(25²-15²)=√(625-225)=

=√400=20 см

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

• Пусть гипотенуза равна $c$.
• Один из катетов равен $a$ (в данном случае $a = 15$ см).
• Высота, проведенная к гипотенузе, равна $h$ (в данном случае $h = 12$ см).
• Второй катет обозначим как $b$.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника. Таким образом, отношение сторон этих треугольников будет одинаковым:

$\frac{a}{c} = \frac{h}{b}$

Подставляя известные значения $a = 15$ см и $h = 12$ см:

$\frac{15}{c} = \frac{12}{b}$

Чтобы найти $c$ и $b$, мы можем решить эту систему уравнений относительно $b$:

$\frac{15}{c} = \frac{12}{b}$

Перемножим обе стороны уравнения на $c \cdot b$:

$15b = 12c$

Теперь можно выразить $b$ через $c$:

$b = \frac{12c}{15} = \frac{4c}{5}$

Также, учитывая теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, подставим $a = 15$ и $b = \frac{4c}{5}$:

$15^2 + \left(\frac{4c}{5}\right)^2 = c^2$

Раскроем скобки и упростим:

$225 + \frac{16c^2}{25} = c^2$

Умножим обе стороны уравнения на 25, чтобы избавиться от дробей:

$225 \cdot 25 + 16c^2 = 25c^2$

Раскроем скобки:

$5625 + 16c^2 = 25c^2$

Переносим все члены с $c^2$ на одну сторону:

$9c^2 = 5625$

Теперь делим обе стороны на 9:

$c^2 = \frac{5625}{9}$

Извлекаем квадратный корень:

$c = \sqrt{\frac{5625}{9}}$

$c = \frac{75}{3}$

$c = 25$

Таким образом, гипотенуза $c$ равна 25 см.

Подставляем значение $c = 25$ в уравнение $b = \frac{4c}{5}$:

$b = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20$

Второй катет $b$ равен 20 см.

Итак, ответ: гипотенуза равна 25 см, а второй катет равен 20 см.