Question

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (X^2-1)y’=2xy^2

Answer 1

$(x^2-1)\, y'=2xy^2\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy^2}{x^2-1}\\\\\\\int \dfrac{dy}{y^2}=\int \dfrac{2x\, dx}{x^2-1}\\\\\\-\dfrac{1}{y}=ln|x^2-1|+lnC\\\\\\-\dfrac{1}{y}=ln\, (C\cdot |x^2-1|)\\\\\\y=-\dfrac{1}{ln\, (C\cdot |x^2-1|)}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Давайте решим его:

Исходное уравнение: $(x^2 - 1)y' = 2xy^2$

Для начала разделим переменные, переместив все члены с $y$ на одну сторону, а члены с $x$ на другую:

$\frac{dy}{y^2} = \frac{2x}{x^2 - 1} dx$

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int \frac{1}{y^2} dy = \int \frac{2x}{x^2 - 1} dx$

Интегралы можно взять с помощью элементарных методов.

Левая сторона:

$\int \frac{1}{y^2} dy = -\frac{1}{y}$

Правая сторона:

$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx$

Для интегрирования правой стороны воспользуемся методом подстановки. Пусть $u = x^2 - 1$, тогда $du = 2x dx$. Подставим это значение:

$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C_1$

Заметим, что $u = x^2 - 1$, поэтому:

$\ln|u| + C_1 = \ln|x^2 - 1| + C_1$

Теперь можем записать окончательное общее решение:

$-\frac{1}{y} = \ln|x^2 - 1| + C_1$

Чтобы найти константу интегрирования $C_1$, необходимо иметь начальное условие (например, значение $y$ при определенном $x$).

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

$-\frac{1}{y} = \ln|x^2 - 1| + C_1$

Где $C_1$ - произвольная постоянная.