Question

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей x - 2y + 3z +15 = 0, 2x + 3y - 4z - 12 = 0 . Найти ее канонические уравнения

Answer 1

Канонические уравнения прямой имеют вид:

$\frac{x-x_1}{m} =\frac{y-y_1}{n} =\frac{x-x_1}{p}$

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой.

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируем одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решаем как систему линейных уравнений с двумя неизвестными.

Итак, пусть x=0, тогда:

{-2y + 3z +15 = 0, |x3 = -6y + 9z + 45 = 0.

{3y - 4z - 12 = 0 .  |*2 = 6y - 8z - 24 = 0.

                                              1z + 21 = 0

z = -21,  y = (3z + 15)/2 = (3*(-21) + 15)/2 = -48/2 = -24.

Найдены координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой: M (0, -24, -21).

Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(1, -2, 3) и n2(2, 3, -4).

Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор  ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, то есть, он находится как их векторное произведение.

I         j          k|          i            j

1       -2         3|         1          -2

2       3        -4|         2          3    = 8i + 6j + 3k + 4j - 9i + 4k =

                                                  = -1i + 10j + 7k = (-1; 10; 7).

Канонические уравнения прямой имеют вид:

x/(-1) = (y + 24)/10 = (z + 21)/7.

Answer 2

Чтобы найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, нужно сначала найти направляющий вектор этой прямой. Для этого найдем вектор нормали для каждой из плоскостей, а затем воспользуемся их векторным произведением.

1. Плоскость 1: x - 2y + 3z + 15 = 0 Нормальный вектор для этой плоскости можно найти, используя коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении плоскости: Нормальный вектор для плоскости 1: (1, -2, 3)

2. Плоскость 2: 2x + 3y - 4z - 12 = 0 Нормальный вектор для этой плоскости: Нормальный вектор для плоскости 2: (2, 3, -4)

Теперь найдем направляющий вектор прямой, который является векторным произведением нормальных векторов этих плоскостей:

Направляющий вектор прямой: (1, -2, 3) × (2, 3, -4)

Вычислим векторное произведение:

(1, -2, 3) × (2, 3, -4) = ((-2) * (-4) - 3 * 3, 1 * (-4) - 3 * 2, 1 * 3 - (-2) * 2) = (8 - 9, -4 - 6, 3 + 4) = (-1, -10, 7)

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой (-1, -10, 7). Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой в параметрической форме:

x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct

где (x₀, y₀, z₀) - координаты какой-либо точки на прямой, а (a, b, c) - направляющий вектор прямой.

Выберем, например, точку (0, 0, 0) на прямой и подставим в параметрические уравнения:

x = 0 - t y = 0 - 10t z = 0 + 7t

Теперь у нас есть параметрические уравнения прямой:

x = -t y = -10t z = 7t

Вы также можете представить эти уравнения в канонической форме в виде одного уравнения:

(x - 0) / (-1) = (y - 0) / (-10) = (z - 0) / 7

Или

x = -t y = -10t z = 7t

Это канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух данных плоскостей.