Question

Найдите область определениях функции f(x)=x-4/x^2-x-6

Answer 1

Сначала интересная теория:

Область определения D(f) функции f(x) - это все те значения "x", которые можно подставить в функцию. И при этом она будет иметь смысл, то есть вычисляться.

В данном примере - функция дробная. Значит, знаменатель не должен равняться нулю. Решаем:

Решение:

$\mathtt{f(x)=\dfrac{x-4}{x^2-x-6}} \\ \\ \\\mathtt{D(f): x^2-x-6 \neq 0}$

Составим и решим уравнение:

$\mathtt{x^2-x-6=0} \\ \\ \mathtt{D=b^4-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6) = 1+24 = 25 = 5^2}} \\ \\ \mathtt{x_1=\dfrac{1+5}{2\cdot1} = 3;} \ \ \ \mathtt{x_2 = \dfrac{1-5}{2} = -2}$

теперь чертим числовую прямую и отмечаем область значений, картинка в приложении. Точки -2, 3 выколотые, так как их нельзя подставлять в функцию: при них знаменатель обращается в ноль

D(f) = (-∞;-2)⋃(-2;3)⋃(3;+∞)

Ответ: D(f) = (-∞;-2)⋃(-2;3)⋃(3;+∞)

Answer 2

Для определения области определения функции f(x) = (x - 4) / (x^2 - x - 6), нужно найти значения x, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю. Поскольку деление на ноль невозможно, знаменатель не должен быть равен нулю. Значит, мы должны решить уравнение:

x^2 - x - 6 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, факторизовав его:

(x - 3)(x + 2) = 0

Теперь найдем корни уравнения:

1. x - 3 = 0 => x = 3
2. x + 2 = 0 => x = -2

Таким образом, областью определения функции f(x) = (x - 4) / (x^2 - x - 6) является множество всех вещественных чисел x, кроме x = 3 и x = -2. То есть, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел x, за исключением этих двух значений:

Область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 3 и x ≠ -2.