Question

Остача від ділення на 5 одного числа становить 2, а від ділення другого — 1. Доведіть, що різниця квадратів цих чисел ділиться на 3.

Answer 1

Відповідь: перша пара вказаних чісел не ділиться на 3( це 7 і 6)!!!

решта -діляться!!!( висновок перше число має бути двозначним, інакше задача не є заданою правильно.

Покрокове пояснення:

нехай перше число -х, а друге- у,

Х:5= .... (2)- тобто перше число закінчується на -7 і перше таке число є 7

У:5=....(1)- друге число закінчується на 6 і перше таке число є 6

х²-у²- ділиться на 3

7²-6²=(7-6)(7+6)=1*13 - на 3 не ділиться!!!!!

Перевірка:візьмемо інші чісла 22 і 11

22²-11²=(22-11)(22+11)=11*33=363, а тут ділиться!!!

візьмемо другі числа: 12 і 11

12²-11²=(12-11)(12+11)=1*33 ділиться на 3

візьмемо другі числа: 12 і 6

12²-6²=(12-6)(12+6)=6*18 - ділиться!

Answer 2

Давайте позначимо перше число як "а", а друге число як "b".

За умовою задачі, остача від ділення "а" на 5 становить 2. Це можна записати як:

а ≡ 2 (mod 5)

Також, остача від ділення "b" на 5 становить 1:

b ≡ 1 (mod 5)

Тепер ми можемо визначити квадрати цих чисел і порівняти їх різницю:

а^2 - b^2 = (а + b)(а - b)

Ми хочемо показати, що ця різниця ділиться на 3. Для цього давайте розглянемо два можливих варіанти:

1. Якщо "а" і "b" обидва парні або обидва непарні числа (тобто, якщо обидва числа дають остачу 2 або обидва дають остачу 1 при діленні на 5), то "а + b" та "а - b" будуть парними числами. Один з цих двох чисел буде множником 3, оскільки "а + b" і "а - b" обидва діляться на 2, і одне з них також ділиться на 3, оскільки сума або різниця двох чисел, кожне з яких ділиться на 3, також ділиться на 3. Отже, "а^2 - b^2" ділиться на 3.

2. Якщо "а" і "b" мають різні остачі при діленні на 5 (одне дає остачу 2, інше дає остачу 1), то "а + b" ділиться на 3. Це можна побачити з такої рівності: а + b ≡ 2 + 1 ≡ 3 (mod 3), де "≡" позначає "конгруентно за модулем". Отже, "а + b" ділиться на 3, і отже, "а^2 - b^2" також ділиться на 3.

Отже, ми довели, що різниця квадратів цих чисел ділиться на 3 в будь-якому випадку.