Question

. Натуральное число делится на 3, но не делится на 9. Докажите, что сумма всех его натуральных делителей чётна.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Число 12

Делители: 1,2,3,4,6,12.

Сумма делителей:

1+2+3+4+6+12 = 28 - чётное число

Answer 2

Давайте докажем утверждение, что если натуральное число делится на 3, но не делится на 9, то сумма всех его натуральных делителей чётна.

Пусть дано натуральное число n, которое делится на 3, но не делится на 9. Это означает, что n = 3k для некоторого натурального числа k (так как оно делится на 3). Теперь мы хотим найти сумму всех его натуральных делителей.

Делители числа n можно представить в виде пар (a, b), где a и b - натуральные числа, такие что a * b = n. Мы можем заметить, что если один из множителей a или b делится на 3, то их произведение тоже будет делиться на 3. Поэтому все делители n можно разделить на две категории:

1. Делители, которые не делятся на 3.
2. Делители, которые делятся на 3.

Для первой категории делителей (не делящихся на 3) сумма их произведений с n будет четной, так как все они будут иметь вид a * b, где ни a, ни b не делятся на 3, и, следовательно, a * b будет четным числом.

Для второй категории делителей (делящихся на 3), сумма их произведений с n также будет четной, так как каждый делитель в этой категории можно представить в виде 3 * c, где c - натуральное число. Тогда a * b будет равно (3 * c) * (n / 3), и это тоже будет четным числом.

Следовательно, сумма всех натуральных делителей числа n равна сумме четных чисел (из обеих категорий), что делает её четной. Таким образом, мы доказали, что если натуральное число делится на 3, но не делится на 9, то сумма всех его натуральных делителей чётна.