Question

Найти неопределённый интеграл. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием. ∫(4x²+1)e^(6x) dx

Answer 1

Ответ:

$\int\limits(4 {x}^{2} + 1) {e}^{6x}dx$

Решаем по частям:

$U = 4 {x}^{2} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= (4 {x}^{2} + 1)dx = 8xdx \\ dV = {e}^{6x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \frac{1}{6} \int\limits {e}^{6x} d(6x) = \frac{1}{6} {e}^{6x}$

$\int\limits \: UdV = UV - \int\limits \: VdU= \\ = \frac{4 {x}^{2} + 1 }{6} {e}^{6x} - \frac{8}{6} \int\limits \: x {e}^{6x} dx \\ \\ \int\limits \: x {e}^{6x} dx \\ \\ U= x \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= dx \\ dV= {e}^{6x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \frac{1}{6} {e}^{6x} \\ \\ \int\limits \: x {e}^{6x} = \frac{x}{6} {e}^{6x} - \frac{1}{6} \int\limits{e}^{6x} dx = \\ = \frac{x}{6} {e}^{6x} - \frac{ {e}^{6x} }{36} + C$

соединяем:

$\frac{4 {x}^{2} + 1 }{6} {e}^{6x} - \frac{4}{3} ( \frac{x}{6} {e}^{6x} - \frac{ {e}^{6x} }{36} ) + C = \\ = \frac{ {e}^{6x} }{6} (4 {x}^{2} + 1 - \frac{4x}{3} + \frac{2}{9} ) + C = \\ = \frac{ {e}^{6x} }{6} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{11}{9} ) + C$

Проверка:

$( \frac{ {e}^{6x} }{6} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{11}{9} ) + C)' = \\ = {e}^{6x} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{11}{9} ) + \frac{ {e}^{6x} }{6} (8x - \frac{4}{3} ) = \\ = {e}^{6x} (4 {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{ 11 }{9} + \frac{4}{3} x - \frac{2}{11} ) = \\ = {e}^{6x} (4 {x}^{2} + 1)$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫(4x²+1)e^(6x) dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям, который основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv выбираются так, чтобы производная u была легко вычислима, а интеграл от dv был бы легко вычислимым. В данном случае давайте выберем:

u = 4x² + 1 => du = 8x dx, dv = e^(6x) dx => v = (1/6)e^(6x).

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫(4x²+1)e^(6x) dx = (4x² + 1)(1/6)e^(6x) - ∫(1/6)e^(6x) * 8x dx.

Упростим это выражение:

(1/6)e^(6x)(4x² + 1) - (1/6)(8/6)e^(6x)∫x dx.

Теперь проинтегрируем ∫x dx:

∫x dx = (1/2)x² + C₁,

где C₁ - произвольная константа.

Подставим этот результат обратно в наше выражение:

(1/6)e^(6x)(4x² + 1) - (1/6)(8/6)e^(6x)((1/2)x² + C₁).

Теперь упростим дополнительно:

(1/6)e^(6x)(4x² + 1) - (1/18)e^(6x)(4x² + 3x² + 6C₁).

Теперь мы можем объединить подобные члены:

(1/6)e^(6x)(4x² + 1 - (4/3)x² - 2C₁).

Теперь у нас есть неопределенный интеграл:

∫(4x²+1)e^(6x) dx = (1/6)e^(6x)(4x² + 1 - (4/3)x² - 2C₁).

Теперь можно проверить правильность этого результата, взяв его производную и убедившись, что она равна исходной функции.