Question

Розв'язати нерівність х^2-3|х|+2 менше Рівне 0. У відповідь записати добуток цілих розв'язків ​

Answer 1

Відповідь: 2.

Сподіваюся, все зрозуміло

Answer 2

Для того щоб розв'язати нерівність $x^2 - 3|x| + 2 \leq 0$, спершу розділимо її на два випадки: коли $x$ є додатнім ($x > 0$) і коли $x$ є від'ємним ($x < 0$).

1. Для $x > 0$ ми можемо відкинути модуль ($3|x| = 3x$), тому нерівність стає:

   $x^2 - 3x + 2 \leq 0$

   Цю квадратну нерівність можна розв'язати шляхом факторизації або за допомогою квадратного кореня:

   $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \leq 0$

   Тепер ми знаємо, що ця нерівність виконується, коли $x$ лежить між коренями рівняння $(x - 1)(x - 2) = 0$. Розв'яжемо рівняння:

   $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

   Отже, для $x > 0$ нерівність виконується, коли $1 \leq x \leq 2$.

2. Для $x < 0$ ми повинні врахувати модуль ($3|x| = -3x$), тому нерівність стає:

   $x^2 + 3x + 2 \leq 0$

   Знову розв'яжемо цю квадратну нерівність:

   $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \leq 0$

   Тепер ми знаємо, що ця нерівність виконується, коли $x$ лежить між коренями рівняння $(x + 1)(x + 2) = 0$. Розв'яжемо рівняння:

   $x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$ $x + 2 = 0 \Rightarrow x_4 = -2$

   Отже, для $x < 0$ нерівність виконується, коли $-2 \leq x \leq -1$.

Зараз ми можемо об'єднати ці два випадки:

$x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$

Добуток цілих розв'язків цієї нерівності буде дорівнювати добутку коренів рівняння $(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)$. Розв'яжемо це рівняння:

$(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0$

Розв'яжемо його за допомогою факторизації:

$(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2) = (x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1) = (x^2 - 4)(x^2 - 1)$

Розв'язуємо далі:

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

Добуток цілих розв'язків цього рівняння дорівнює $2 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot (-1) = 4$.

Отже, добуток цілих розв'язків заданої нерівності дорівнює 4.