Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y=x² і y=x+1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁=x+1;  ​ y₂=x²

чертим график. к сожалению, из графика точки пересечения точно сложно определить. будем ситать алгебраически

x² = x+1

x² - x - 1 = 0  ⇒  x₁ = (1-√5)/2   x₂= (1+√5)/2

тогда площадь

$\displaystyle S= \int\limits^{\frac{1+\sqrt{5} }{2}} _{\frac{1-\sqrt{5} }{2}} {((x+1)-x^2)} \, dx =\frac{x^2}{2} \bigg \vert ^{\frac{1+\sqrt{5} }{2}} _{\frac{1-\sqrt{5} }{2}} +x\bigg \vert ^{\frac{1+\sqrt{5} }{2}} _{\frac{1-\sqrt{5} }{2}}-\frac{x^3}{3} \bigg \vert ^{\frac{1+\sqrt{5} }{2}} _{\frac{1-\sqrt{5} }{2}}=$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{5} }{2} +\sqrt{5} -\frac{2\sqrt{5} }{3} = \frac{5\sqrt{5} }{2}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x² і y = x + 1, потрібно обчислити інтеграл від різниці цих двох функцій на відповідному інтервалі.

Спочатку знайдемо точки перетину обох ліній:

1. Рівняння y = x² і y = x + 1 перетинаються, коли x² = x + 1.
2. Переносимо все на одну сторону рівняння: x² - x - 1 = 0.
3. Тепер ми можемо використовувати квадратне рівняння для знаходження коренів: Δ = (-1)² - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5.
4. x = (-(-1) ± √5) / (2 * 1) = (1 ± √5) / 2.

Отже, точки перетину обох ліній мають координати (1 + √5)/2 та (1 - √5)/2.

Тепер знайдемо інтеграл для обчислення площі між цими двома функціями на інтервалі [a, b], де a = (1 - √5)/2 і b = (1 + √5)/2.

Площа S буде обчислюватися як інтеграл від різниці функцій: S = ∫[a, b] (x + 1 - x²) dx.

Тепер обчислимо цей інтеграл: S = ∫[a, b] (x + 1 - x²) dx S = [1/2 * x² + x - 1/3 * x³] | от a до b S = [(1/2 * ((1 + √5)/2)² + (1 + √5)/2 - 1/3 * ((1 + √5)/2)³) - (1/2 * ((1 - √5)/2)² + (1 - √5)/2 - 1/3 * ((1 - √5)/2)³)]

Тепер обчисліть це вираз: S = [(1/2 * (1 + 2√5 + 5/4) + (1 + √5)/2 - 1/3 * (1 + √5 + 5/4)) - (1/2 * (1 - 2√5 + 5/4) + (1 - √5)/2 - 1/3 * (1 - √5 + 5/4))]

S = [(1/2 * (9/4 + 2√5) + (1 + √5)/2 - 1/3 * (9/4 + √5)) - (1/2 * (9/4 - 2√5) + (1 - √5)/2 - 1/3 * (9/4 - √5))]

Тепер обчислимо ці числа і знайдемо значення площі S.