Question

Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением. y'''-3y''+3y'-y=e^2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. Давайте рассмотрим его пошагово.

Исходное уравнение: $y''' - 3y'' + 3y' - y = e^2$

Для начала, предположим, что решение имеет вид $y = e^{rx}$, где $r$ - некоторая константа. Затем найдем производные:

$y' = re^{rx}$ $y'' = r^2e^{rx}$ $y''' = r^3e^{rx}$

Теперь подставим эти производные в исходное уравнение и упростим:

$r^3e^{rx} - 3r^2e^{rx} + 3re^{rx} - e^{rx} = e^2$

Теперь давайте вынесем $e^{rx}$ за скобку и упростим:

$e^{rx} (r^3 - 3r^2 + 3r - 1) = e^2$

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить для $r$:

$r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0$

Это кубическое уравнение, и его можно решить численно или методом подбора корней. Попробуем разложить его на множители:

$(r - 1)^3 = 0$

Отсюда получаем один корень $r = 1$ кратности 3.

Теперь у нас есть три корня, и мы можем записать общее решение в виде:

$y(x) = (C_1 + C_2x + C_3x^2)e^x + e^{rx}$

Где $C_1$, $C_2$ и $C_3$ - произвольные константы, которые зависят от начальных условий задачи, а $r = 1$.

Теперь мы можем найти частное решение для уравнения $y''' - 3y'' + 3y' - y = e^2$. Поскольку правая часть уравнения постоянная ($e^2$), частное решение также будет постоянным:

$y_p(x) = A$

Подставляем $y_p(x)$ в исходное уравнение:

$0 - 0 + 0 - A = e^2$

Отсюда видно, что $A = -e^2$.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения будет:

$y(x) = (C_1 + C_2x + C_3x^2)e^x - e^2$