Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою y=х²+2 та прямо y=x+4

Answer 1

Ответ: S=9/2.

Пошаговое объяснение:

Решая уравнение x²+2=x+4, находим x1=-1 и x2=2 - левая и правая границы области. Тогда искомая площадь S=3*3+1/2*3*3-∫(x²+2)*dx, где пределами интегрирования являются x1 и x2. Отсюда S=27/2-9=9/2.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої параболою y = x² + 2 та прямою y = x + 4, вам потрібно знайти точки їх перетину. Потім ви можете використовувати інтегрування для обчислення площі між цими двома функціями на відповідному інтервалі.

Спершу знайдемо точки перетину цих двох функцій:

y = x² + 2 y = x + 4

Прирівнюємо їх:

x² + 2 = x + 4

Приносимо всі члени рівняння на одну сторону:

x² - x - 2 = 0

Тепер розв'язуємо це квадратне рівняння:

(x - 2)(x + 1) = 0

З цього рівняння ми отримуємо дві можливі значення x: x = 2 і x = -1.

Ці дві точки, x = 2 і x = -1, є точками перетину параболи і прямої.

Тепер, для знаходження площі фігури між цими двома кривими, нам потрібно обчислити інтеграл від різниці цих функцій на інтервалі від -1 до 2:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a = -1 і b = 2, f(x) = x² + 2, і g(x) = x + 4.

Площа = ∫[-1, 2] (x² + 2 - (x + 4)) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Площа = ∫[-1, 2] (x² - x - 2) dx

Площа = [1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 - 2x] от -1 до 2

Площа = [(1/3 * 2^3 - 1/2 * 2^2 - 2 * 2) - (1/3 * (-1)^3 - 1/2 * (-1)^2 - 2 * (-1))]

Площа = [(8/3 - 2 - 4) - (-1/3 + 1/2 + 2)]

Площа = [(-10/3) - (1/6 + 4/6 + 12/6)]

Площа = (-10/3) - (17/6)

Тепер обчислимо це:

Площа = (-20/6) - (17/6)

Площа = -37/6

Отже, площа фігури, обмеженої параболою y = x² + 2 і прямою y = x + 4 на інтервалі від -1 до 2, дорівнює -37/6 квадратних одиниць.