Question

Если вася даст пете 6 монет то у них станет поровну монет, а если Петя даст Васе 9 монет то у Васи станет в к раз больше чем у пети. При каком наибольшем к это возможно? 20, 25, 30, 31, 37. Пршу расчитать.

Answer 1

Среднеарифметическое двух чисел всегда меньше большого числа на столько же, насколько оно больше меньшего числа. Ну например для чисел $17$ и $25$ – среднеарифметическое равно     $21 = \frac{ 17 + 25 }{2} \ ,$     и при этом $21$ на $4$ меньше двадцати пяти и на $4$ больше семнадцати.

Когда Вася отдаёт Пете $6$ монет и у них становится поровну, то они как раз и приходят к среднеарифметическому их начальных количеств монет. В итоге у Васи оказывается на $6$ монет меньше изначального, а у Пети на $6$ монет больше изначального. А значит, вначале у Васи было на $12 = 6 + 6$ монет больше, чем у Пети.

Путь у Васи вначале $x$ монет. Тогда у Пети $x - 12$ монет.


В первом случае всё как раз получается правильно:

$x - 6 = ( x - 12 ) + 6 \ ;$


Во втором случае у Васи-II оказывается $x + 9$ монет, а у Пети-II будет $x - 12 - 9$ монет. При этом у Пети-II монет в $K$ раз меньше, т.е. если мы количество монет Пети-II мысленно увеличим в $K$ раз, то их станет столько же, сколько и у Васи-II. На этом основании составим уравнение:

$x + 9 = ( x - 12 - 9 ) K \ ;$

$x + 9 = ( x - 21 ) K \ ;$



Далее это целочисленное уравнение можно решить двумя способами:


[[[ 1-ый способ ]]]

$K = \frac{ x + 9 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 + 21 + 9 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 + 30 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 }{ x - 21 } + \frac{30}{ x - 21 } = 1 + \frac{30}{ x - 21 } \ ;$

$K = 1 + \frac{30}{ x - 21 } \ ;$

Чтобы $K$ было целым, целой должен быть и результат деления в дроби, а чтобы $K$ было максимальным, частное от деления в дроби должно быть максимальным, а значит её знаменатель должен быть минимальным, целым, положительным числом, что возможно только, когда     $x - 21 = 1 \ ,$     откуда:

$x = 22 \ ; K = 31 \ ;$



[[[ 2-ой способ ]]]


$x + 9 = K x - 21 K \ ;$

$9 + 21 K = ( K - 1 ) x \ ;$

$x = \frac{ 9 + 21 K }{ K - 1 } = \frac{ 9 + 21 ( K - 1 + 1 ) }{ K - 1 } \ = \frac{ 9 + 21 ( K - 1 ) + 21 }{ K - 1 } = \frac{ 30 + 21 ( K - 1 ) }{ K - 1 } = \\\\ = \frac{30}{ K - 1 } + \frac{ 21 ( K - 1 ) }{ K - 1 } = \frac{30}{ K - 1 } + 21 \ ;$

$x = \frac{30}{ K - 1 } + 21 \ ;$

Чтобы $x$ было целым, целой должен быть и результат деления в дроби. А максимальное значение знаменателя в такой дроби (при том, что частное от деления остаётся целым) составляет $K - 1 = 30 \ ,$ откуда:

$K = 31 \ ; x = 22 \ ;$



О т в е т : $K = 31 \ .$